§ 4.5. Закон Био—Савара—Лапласа

Перейдем теперь к формулировке закона, определяющего распределение магнитного поля в пространстве в зависимости от токов. Будем считать вначале, что проводники с токами расположены в вакууме.

Магнитная индукция в произвольной точке А пространства, очевидно, должна зависеть от сил токов в проводниках, их размеров и формы, а также от расположения проводников относительно этой точки (рис. 4.33). Опыт показывает, что так и есть на самом деле.

Элемент тока

Считаем проводники тонкими. Это означает, что диаметры всех проводников много меньше расстояний до точки, где определяется магнитная индукция. Тогда любой проводник можно представить как совокупность элементов тока Δ пренебрежимо малой толщины. Элемент Δ — это вектор, направленный по току в проводнике (см. рис. 4.33).

Каждый элемент тока Δ создает свое магнитное поле в точке А. Результирующее поле в точке, как следует из принципа суперпозиции полей, — это векторная сумма полей, созданных отдельными элементами тока.

Трудности задачи

В опытах с постоянными токами мы всегда имеем дело с токами замкнутыми, следовательно, с полями, создаваемыми всеми элементами тока. Нам же нужен закон, определяющий магнитную индукцию, созданную одним элементом тока. Только такой закон может иметь общее значение. Для каждого конкретного замкнутого проводника с током магнитная индукция зависит от формы проводника, а таких форм может быть бесчисленное множество. Никакой общей закономерности для поля в точке здесь усмотреть нельзя. Точно так же основной закон электростатики — закон Кулона — формулируется для точечных зарядов.

Зная магнитную индукцию Δ, созданную элементом тока, можно вычислить индукцию любого тока в любой точке пространства.

Но нахождение закона для Δ сразу же наталкивается на трудности. Нельзя создать элемент тока (незамкнутый постоянный ток). Прямой способ экспериментального нахождения закона для Δ, как в случае электростатических взаимодействий, здесь невозможен. Однако такой закон все же удалось установить. Непосредственно из опыта следует, что во всех случаях магнитная индукция В - I. Отсюда можно предположить, что и ΔВ - I.

Далее, эксперименты французских физиков Ж. Био и Ф. Са- вара показали, что индукция магнитного поля, созданного прямым током, на расстоянии d, много меньшем длины проводника, пропорциональна Направление Δ определяется по правилу буравчика (см. § 3).

Отсюда следует, что для Δ нужно найти такой закон, который при суммировании по всем элементам прямого провода давал бы найденную экспериментально зависимость от I и d. Это удалось сделать П. Лапласу. Отыскивая простейшую формулу, приводящую к известному результату, он получил требуемый закон.

Найденную Лапласом формулу для Δ следует рассматривать как обобщение опытных фактов. Уверенность в ее справедливости вытекает не из ее «вывода», а из того, что все расчеты полей любых замкнутых токов на ее основе приводят к правильным результатам, согласующимся с опытом.

Закон Био—Савара—Лапласа

Теперь мы запишем выражение для модуля магнитной индукции Δ поля, созданного элементом тока в точке пространства А на расстоянии r от (рис. 4.34). Угол между радиусом-вектором и обозначим через α. Сила тока равна I. Согласно закону Био—Савара—Лапласа

Здесь k₁ — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. (Системами единиц мы займемся в дальнейшем.) Направлен вектор Δ перпендикулярно плоскости, содержащей векторы и . Если вращать рукоятку буравчика от к в направлении наименьшего угла между этими векторами, то поступательное перемещение буравчика укажет направление вектора Δ. В случае, изображенном на рисунке 4.34, вектор Δ направлен перпендикулярно чертежу от нас.

Окончание параграфа >>>