Нахождение пути по графику зависимости скорости от времени

Покажем, как можно найти пройденный телом путь с помощью графика зависимости скорости от времени.

Начнём с самого простого случая — равномерного движения. На рисунке 6.1 изображён график зависимости υ(t) — скорости от времени. Он представляет собой отрезок прямой, параллельной оси времени, так как при равномерном движении скорость постоянна.

Рис. 6.1

Фигура, заключённая под этим графиком, — прямоугольник (он закрашен на рисунке). Его площадь численно равна произведению скорости υ на время движения t. С другой стороны, произведение υt равно пути l, пройденному телом. Итак, при равномерном движении

путь численно равен площади фигуры, заключённой под графиком зависимости скорости от времени.

Покажем теперь, что этим замечательным свойством обладает и неравномерное движение.

Пусть, например, график зависимости скорости от времени имеет вид кривой, изображённой на рисунке 6.2.

Рис. 6.2

Разобьём мысленно всё время движения на столь малые промежутки, чтобы в течение каждого из них движение тела можно было считать практически равномерным (это разбиение показано штриховыми линиями на рисунке 6.2).

Тогда путь, пройденный за каждый такой промежуток, численно равен площади фигуры под соответствующим участком графика. Поэтому и весь путь равен площади фигуры, заключённой под всем графиком¹.

¹ 1 Использованный нами приём лежит в основе интегрального исчисления, основы которого вы будете изучать в курсе «Начала математического анализа».