Плотность планеты

Рассмотрим, как выразить ускорение свободного падения на поверхности планеты и первую космическую скорость для этой планеты через её радиус R и среднюю плотность¹ ρ.

¹ Средняя плотность планеты равна отношению массы планеты к её объёму.

1. Выразите массу планеты М через её радиус R и среднюю плотность ρ.

2. Чему равно ускорение свободного падения g на поверхности планеты радиусом R, имеющей среднюю плотность ρ?

П о д с к а з к а. Воспользуйтесь формулой (8) из § 14, заменив массу и радиус Земли на массу и радиус данной планеты.

3. Вблизи поверхности планеты-гиганта Юпитер (на рисунке 18.1 Юпитер изображён в одном масштабе с Землёй) ускорение свободного падения в 2,6 раза больше, чем вблизи поверхности Земли. Радиус Юпитера примерно в 11 раз больше радиуса Земли. Какова средняя плотность Юпитера?

Юпитер

4. На планете радиусом 3400 км камень падает с обрыва высотой 200 м в течение 10 с. Чему равна средняя плотность планеты? Считайте, что сопротивлением атмосферы планеты можно пренебречь.

5. Чему равна первая космическая скорость для планеты радиусом R со средней плотностью ρ?

П о д с к а з к а. Воспользуйтесь формулой (10) из § 14, заменив радиус Земли и ускорение свободного падения на поверхности Земли на массу данной планеты и ускорение свободного падения на её поверхности.

А сейчас мы получим несколько неожиданный результат.

6. Чему равен период Т обращения спутника по низкой круговой орбите² вокруг планеты радиусом R со средней плотностью ρ?

² В таком случае радиус орбиты можно считать равным радиусу планеты.

Итак, период обращения спутника на низкой круговой орбите зависит только от средней плотности планеты!

7. Астронавты облетели три планеты А, Б и В на низких круговых орбитах с выключенным двигателем. Время облёта каждой из планет составило: Т_A = 55 мин, Т_B = 106 мин, Т_B = 72 мин. У какой из этих планет наибольшая средняя плотность? У каких из этих планет средняя плотность больше средней плотности Земли? Напомним, что период обращения искусственного спутника Земли на низкой орбите 85 мин.