Главная >> Физика. 10 класс. Базовый уровень. Пурышева

Глава 3. Следствия классической механики

§ 16. Небесная механика

Движение спутников

1. Классическая механика позволила рассчитать движение небесных тел. Это привело к бурному развитию в XVIII в. небесной механики — раздела астрономии, который изучает движение небесных тел на основе применения закона всемирного тяготения. Рассмотрим в качестве примера применение этого закона к расчёту движения спутника вокруг планеты.

Спутник под действием силы тяготения будет всё время падать на планету и в то же время продвигаться вперёд по своей траектории. При этом, поскольку планета имеет форму шара, её поверхность будет всё время несколько удаляться от спутника (рис. 47). При определённом значении скорости спутник может вращаться вокруг планеты по круговой орбите. Эту скорость называют круговой скоростью.

Получим формулу для расчёта круговой скорости υ_кр.

Поскольку в данном случае планету и её спутник можно рассматривать как изолированную систему, то на спутник действует только сила тяготения со стороны планеты, которая равна:

где М — масса планеты, m — масса спутника, a R — расстояние от центра планеты до спутника.

Из второго закона Ньютона выразим ускорение спутника и подставим в полученное выражение значение силы:

Поскольку спутник движется по окружности, то это ускорение центростремительное, а значит, оно равно отношению квадрата линейной скорости к радиусу (расстоянию от центра планеты до спутника):

Приравняем правые части выражений (1) и (2) и выразим скорость, с которой должен двигаться спутник, чтобы орбита была круговой, т. е. круговую скорость:

откуда

Получая формулу (3), мы не учитывали, что спутник движется на некоторой высоте h над поверхностью планеты. Если же учесть этот факт, то формула для расчёта круговой скорости будет иметь вид:

Параболическая и гиперболическая скорости

2. В случае, когда скорость спутника больше круговой υ > υ_кp, спутник будет двигаться по эллипсу, в одном из фокусов которого находится центр планеты (рис. 48). Чем больше скорость спутника, тем большим будет расстояние от него до планеты.

Однако если скорость спутника достигнет определённого значения, называемого параболической скоростью υ_п, то спутник прекратит движение по замкнутой траектории: сила тяготения планеты уже не сможет «удерживать» спутник, и он покинет планету, двигаясь по параболе.

Если же скорость спутника превысит значение параболической скорости, то он будет удаляться от планеты по гиперболической орбите. Такую скорость называют гиперболической скоростью υ_г. Параболическая и гиперболическая скорости так же, как и круговая, определяются массой планеты и расстоянием от её центра до спутника.

Продолжение >>>