Главная >> Физика 10 класс. Мякишев

Глава 3. Силы в механике

§ 32. Примеры решения задач по теме «Первая космическая скорость

Для решения задач требуется знать закон всемирного тяготения, закон Ньютона, а также связь линейной скорости тел с периодом их обращения вокруг планет. Обратите внимание на то, что радиус траектории спутника всегда отсчитывается от центра планеты.

Задача 1. Вычислите первую космическую скорость для Солнца. Масса Солнца 2 • 10³⁰ кг, диаметр Солнца 1,4 • 10⁹ м.

Р е ш е н и е. Спутник движется вокруг Солнца под действием единственной силы — силы тяготения. Согласно второму закону Ньютона запишем:

Из этого уравнения определим первую космическую скорость, т. е. минимальную скорость, с которой надо запустить тело с поверхности Солнца, чтобы оно стало его спутником:

Задача 2. Вокруг планеты на расстоянии 200 км от её поверхности со скоростью 4 км/с движется спутник. Определите плотность планеты, если её радиус равен двум радиусам Земли (R_пл = 2R₃).

Р е ш е н и е. Планеты имеют форму шара, объём которого можно вычислить по формуле тогда плотность планеты

где М_пл — масса планеты, R_пл — её радиус.

Спутник движется вокруг планеты по круговой орбите. На него действует сила тяготения F_тяг, которая определяет центростремительное ускорение.

Согласно второму закону Ньютона

Из последнего уравнения находим массу планеты:

Подставив это выражение в формулу (1), имеем

Задача 3. При какой скорости спутника период его обращения вокруг Земли равен двум суткам?

Р е ш е н и е. Скорость спутника

где h — высота спутника над поверхностью Земли.

Для определения скорости необходимо знать высоту h.

Спутник движется по круговой орбите, при этом сила тяготения является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона для спутника запишем:

где m — масса спутника.

Из уравнения (2) находим высоту Подставим выражение для h в формулу (1) и из полученного уравнения определим искомую скорость:

Окончательно получим

Для упрощения расчётов поместим спутник на полюс, где сила тяжести равна силе тяготения. Тогда отсюда GM₃ = gR²₃.

Подставив найденное выражение в формулу (3), определим скорость:

Задача 4. Определите среднее расстояние от Сатурна до Солнца, если период обращения Сатурна вокруг Солнца равен 29,5 лет. Масса Солнца равна 2 • 10³⁰ кг.

Р е ш е н и е. Считаем, что Сатурн движется вокруг Солнца по круговой орбите. Тогда согласно второму закону Ньютона запишем:

где m — масса Сатурна, r — расстояние от Сатурна до Солнца, М_с — масса Солнца.

Период обращения Сатурна отсюда

Подставив выражение для скорости υ в уравнение (4), получим

Из последнего уравнения определим искомое расстояние от Сатурна до Солнца:

Сравнив с табличными данными, убедимся в правильности найденного значения.

Задачи для самостоятельного решения

1. Определите длительность года на Венере. Среднее расстояние от Венеры до Солнца 1,08 • 10⁸ км, а от Земли до Солнца 1,49 • 10⁸ км.

2. Какой импульс силы подействовал на спутник массой 1 т, если спутник перешёл с орбиты радиусом R₃ + h на орбиту радиусом R₃ + 2h, где высота h равна 200 км?

3. Астероид вращается вокруг Солнца с периодом, равным 410 сут. Определите расстояние от астероида до Солнца.

Образцы заданий ЕГЭ С1. Чему равен радиус кольца Сатурна, в котором частицы движутся со скоростью 10 км/с? Масса Сатурна 5,7 • 1026 кг. С2. Среднее расстояние от планеты Земля до Солнца составляет 149,6 млн км, а от планеты Юпитер до Солнца — 778,3 млн км. Чему равно отношение υЗ/υЮ линейных скоростей этих двух планет при их движении вокруг Солнца, если считать их орбиты окружностями? С3. Среднее расстояние от Солнца до планеты Уран составляет 2875,03 млн км, а до планеты Земля — 149,6 млн км. Чему приблизительно равна средняя линейная скорость планеты Уран при её движении вокруг Солнца, если известно, что средняя скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца составляет 30 км/с? С4. Средняя плотность некоторой планеты равна средней плотности планеты Земля, а радиус этой планеты в 2 раза больше радиуса Земли. Определите отношение первой космической скорости на этой планете к первой космической скорости на Земле υп/υ3. С5. С какой скоростью движутся частицы, входящие в наиболее плотное кольцо Сатурна, если известно, что период их обращения примерно совпадает с периодом вращения Сатурна вокруг своей оси и составляет 10 ч 40 мин? Масса Сатурна равна 5,7 • 1026 кг.