§ 3. Определение координаты движущегося тела

В предыдущем параграфе говорилось о том, что положение тела, совершившего некоторое перемещение, можно найти графически, отложив вектор перемещения от начального положения этого тела. Но в большинстве случаев необходимо вычислить положение тела, т. е. определить его координаты.

Известно, что вычисления производят не с векторами, а с соответствующими им скалярными величинами: с проекциями векторов на координатные оси и с модулями векторов или их проекций (т. е. с величинами, представляющими собой положительные или отрицательные числа, но не имеющими направления).

Покажем, как определить координату движущегося тела, зная координату его начального положения и вектор перемещения. Для этого решим задачу.

Два катера идут по реке в противоположных направлениях и встречаются в 100 км к востоку от пристани П (рис. 4). Продолжая движение, за некоторый промежуток времени t первый катер переместился от места встречи на 60 км к востоку, а второй — на 50 км к западу. Определите координаты каждого катера относительно пристани и расстояние между катерами через промежуток времени t после их встречи.

Проведём координатную ось ОХ параллельно прямой, вдоль которой движутся катера, и направим её на восток. Начало этой оси (х = 0) — точку О — совместим с пристанью, приняв её за тело отсчёта (поскольку в задаче требуется определить положение катеров по отношению к пристани).

Определение координаты движущегося тела

Спроецировав начала и концы векторов перемещения и на ось ОХ, получим отрезки s_1x и s_2x, которые являются проекциями указанных векторов. Проекция вектора на ось считается положительной, если вектор сонаправлен с этой осью, и отрицательной, если вектор направлен противоположно оси.

Значит, в данном случае s_1x > 0, a s_2x < 0.

Из рисунка 4 видно, что координаты х₁ и х₂ можно найти следующим образом:

х₁ = x₀ + s_1x, (1)
x₂ = x₀ + s_2x. (2)

Расстояние между двумя телами, как известно, равно модулю разности их координат:

= |x₁ - х₂|. (3)

По уравнениям (1) и (2) можно рассчитать искомые координаты х₁ и х₂. Но какие числа следует подставить в уравнения (1) и (2) вместо символов х₀, s_1x и s_2x?

Согласно условию задачи катера встретились на расстоянии 100 км от пристани, значит, длина отрезка Ох₀ равна 100 км. Из рисунка 4 видно, что координата х₀ находится на положительной полуоси ОХ, т. е. х₀ > 0. Значит, х₀ = 100 км.

Поскольку ось ОХ параллельна векторам перемещений катеров, длины проекций s_1x;c и s_2x равны соответственно длинам векторов и (как противоположные стороны построенных на них прямоугольников). А это означает, что модуль каждой проекции равен модулю соответствующего ей вектора.

Указанные в задаче расстояния (60 км и 50 км), на которые сместились катера за время t, представляют собой модули векторов их перемещений. Значит, модуль проекции s_1x равен 60 км, а модуль проекции s_2x равен 50 км.

Поскольку проекция s_1x положительна, то можно записать: s_1x = 60 км. Но проекция s_2x отрицательна, поэтому s_2x = -50 км.

Теперь запишем условие задачи и решим её.

Вопросы

1. С какими величинами производят вычисления — с векторными или скалярными?
2. При каком условии проекция вектора на ось будет положительной, а при каком — отрицательной?
3. Запишите уравнение, с помощью которого можно определить координату тела, зная координату его начального положения и вектор перемещения.

Упражнение 3

1. Мотоциклист, переехав через мост, движется по прямолинейному участку дороги. У светофора, находящегося на расстоянии 10 км от моста, мотоциклист встречает велосипедиста. За 0,1ч с момента встречи мотоциклист перемещается на 6 км, а велосипедист — на 2 км от светофора (при этом оба они продолжают двигаться прямолинейно в противоположных направлениях).

Определите координаты мотоциклиста и велосипедиста и расстояние между ними спустя 0,1ч после их встречи.

У к а з а н и е: начертите ось X, направив её в сторону движения мотоциклиста и приняв за тело отсчёта мост. Обозначьте на этой оси координату светофора (х_с), координаты велосипедиста (х_в) и мотоциклиста (х_м), которые они имели через 0,1ч после встречи. Над осью начертите и обозначьте векторы перемещений велосипедиста и мотоциклиста , а на оси — проекции этих векторов (s_вх и s_мx).

2. Мальчик держит в руках мяч на высоте 1 м от поверхности земли. Затем он подбрасывает мяч вертикально вверх. За некоторый промежуток времени t мяч успевает подняться на 2,4 м от своего первоначального положения, достигнув при этом точки наибольшего подъёма, и опуститься от этой точки на 1,25 м (рис. 5).

Пользуясь этим рисунком, определите: а) координату х₀ начального положения мяча; б) проекцию s_tx вектора перемещения , совершённого мячом за время t; в) координату х_t, которую имел мяч через промежуток времени t после броска.