Возведение в степень произведения и степени

Выражение (ab)⁴ является степенью произведения множителей а и b. Это выражение можно представить в виде произведения степеней а и b:

(ab)⁴ = ab • аb • аb • ab = (aaaa) • (bbbb) = a⁴b⁴.

Значит,

(ab)⁴ = a⁴b⁴.

Аналогичным свойством обладает любая натуральная степень произведения двух множителей.

Для любых а и b и произвольного натурального числа n

(аb)ⁿ = аⁿbⁿ.

По определению степени

Сгруппировав отдельно множители а и множители b, получим

Воспользовавшись определением степени, находим

Следовательно,

(аb)ⁿ = аⁿbⁿ.

Доказанное свойство степени произведения распространяется на степень произведения трёх и более множителей.

Например:

(аbс)ⁿ = аⁿbⁿсⁿ; (abcd)ⁿ = аⁿbⁿсⁿdⁿ.

Отсюда получается правило:

чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

Пример 1. Возведём произведение 2yz в пятую степень.

Имеем (2yz)⁵ = 2⁵y⁵z⁵ = 32y⁵z⁵.

Выражение (а⁵)³ есть степень, основание которой само является степенью. Ото выражение можно представить в виде степени с основанием а:

(а⁵)³ = а⁵а⁵а⁵ = а^{5 + 5 + 5} = а^{5 • 3}.

Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n.

(а^m)ⁿ = а^mn.

По определению степени

Согласно основному свойству степени

Заменим сумму произведением mn.

Тогда получим

Следовательно,

(а^m)ⁿ = а^mn.

Из доказанного свойства степени следует правило:

при возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.