О простых и составных числах (окончание)

Найдём, например, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 504 и 2352. Разложив каждое из этих чисел на простые множители, получаем, что

504 = 28 • 3² • 7 и 2352 = 2⁴ • 3 • 7².

Чтобы найти наибольший общий делитель этих чисел, надо каждый из множителей взять в степени с наименьшим показателем, с каким он входит в эти числа, а чтобы найти их наименьшее общее кратное — с наибольшим показателем.

Обозначив через d наибольший общий делитель этих чисел, а через k их наименьшее общее кратное, получаем, что

d = 2³ • 3 • 7 = 168, h = 2⁴ • 3² • 7² = 7056.

Пример. Наименьшее общее кратное двух чисел равно 96. Одно из этих чисел — число 6. Каким может быть другое число?

Разложив числа 96 и 6 на простые множители, получаем, что

96 = 2⁵ • 3, 6 = 2 • 3.

Очевидно, что в разложение искомого числа на простые множители должны входить пять двоек и не более одной тройки. Значит, второе число либо равно 2⁵, т. е. 32, либо равно 2⁵ • 3, т. е. 96.

Упражнения

500. Если в выражении а² + а + 17 подставлять вместо а числа 0, 1, 2, 3, ..., то сначала получаются простые числа. Укажите наименьшее натуральное значение а, при котором значение этого выражения является составным числом.

501. Докажите, что значение выражения является составным числом:

а) 15⁹ + 31³; б) 16⁷ + 25⁵ - 41⁴.

502. Найдите наибольшее двузначное число, равное произведению двух простых чисел.

503. Пусть р — простое число. Укажите наименьшее значение р, при котором значение выражения 2^p - 1 не является простым числом.

504. Найдите все простые числа, на которые делится сумма:

а) 2 + 2² + 2³ + 2⁴; б) 5 + 5² + 5³ + 5⁴.

505. Разложите на простые множители число: а) 5082; б) 7605.

506. Разложите на простые множители число а, если

а = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10.

507. Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 765 и 315; б) 792 и 1936.

508. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

а) 294 и 756; б) 693 и 1617.

509. В последовательностях записаны в порядке возрастания все натуральные числа, которые не превосходят 200, причём в первой последовательности записаны числа, кратные 6, а во второй — кратные 8:

6, 12, 18, ... ;

8, 16, 24, ... .

Сколько в этих последовательностях одинаковых чисел?

510. Какой цифрой оканчивается значение выражения:

a) 45⁵ - 31⁴; б) 37² + 21⁶ + 45⁴?

<<< К началу Решенния >>>