Дополнительные упражнения к параграфу 7 (окончание)

529. х⁶ - х⁵ + х⁴ - х³ + х² - х + 1 = 0 ⇒ х⁶ - х⁵ + х⁴ - х³ + х² - х = -1 ⇒ х⁵ • (х - 1) + х³ • (х - 1) + x • (х - 1) = -1 ⇒ (х - 1) • (х⁵ + х³ + х) = -1 — при х < 0, значение с х - 1 отрицательное, х⁵ + х³ + х так же отрицательно, при перемножении двух отрицательных чисел получится положительное число, а должно -1, значит уравнение х⁶ - х⁵ + х⁴ - х³ + х² - х + 1 = 0 не имеет отрицательных корней.

530. a) a¹⁰a¹² (-a⁵) = -a^{10 + 12 + 5} = -a²⁷; б) x • (-x) (-x⁶) = x^{6 + 1 + 1} = x⁸; в) y^ky⁸y² = y^{k + 8 + 2} = y^{k + 10}. г) bnbnb3 = b^{n + n + 3} = b²ⁿ⁺³.

531. a) 2⁵ • 8 = 2⁵ • 2³ = 2^{5 + 3} = 2⁸; 6) 16 • 64 = 2⁴ • 2⁶ = 2^{4 + 6} = 2¹⁰; в) 7ⁿ • 343 = 7ⁿ • 7³ = 7^{n + 3}; г) 81 • 3^k = 3⁴ • 3^k = 34^{m+ k}.

532. a) a¹⁰ = a^{10 - 5} • a⁵ • a⁵a⁵; 6) a⁶ = a^{6 - 5} • a⁵ = a • a⁵; в) —a⁴⁰ = -a^{40 - 5} • a⁵ = -a³⁵ • a⁵.

533. a) c²x = c⁵ ⇒ x = c^{5 - 2} = c³; 6) xc⁵ = c⁹ ⇒ x = c^{9 - 5} = c⁴; в) c⁶x = c¹¹ ⇒ x = c^{11 - 6} = c5; r) с⁴x = c¹⁵ ⇒x = c^{15 - 4} = c¹¹.

534. a) b¹⁵ : b¹² = b^{15 - 12} = b³; б) 7³⁹ : 7¹³ = 7^{39 - 13} = 7²⁶; в) a¹¹ : a = a^{11 - 1} = a¹⁰; г) 12¹⁰⁰ : 12⁹⁹ = 12^{100 - 99} = 12.

536. a) 6^{n + 3} : 6ⁿ = 6^{n + 3 - n} = 6³ = 216; 6) 10^{n + 1} : 10^{n - 1} = 10^{n + 1 - (n - 1)} = 10^{n + 1 - n + 1} = 10² = 100.

538. a) (-1)ⁿ • (-1)ⁿ = (-1)²ⁿ = 1 — так как показатель степени чётный; б) (-1)²ⁿ : (-1)³ = 1 : (-1) = -1.

539. S = πr²: S₃ = π(3r)² = 9πr² — площадь увеличится в 9 раз; S₇ = π(7r)² = 49πr² — площадь увеличится в 49 раз.

541. а) да; б) нет.

543. а) 2⁸ • 5⁷ = 2 • (2 • 5)⁷ = 2 • 10⁷ ⇒ 10⁷ < 2⁸ • 5⁷

б) 2¹³ • 3¹¹ = 2² • (2 • 3)¹¹ = 4 • 6¹¹; 6¹² = 6 • 6¹¹ ⇒ 6¹² > 2¹³ • 3¹¹

в) 25²⁵ = 5^{2 • 25} = 5⁵⁰; 2⁵⁰ • 3⁵⁰ = (2 • 3)⁵⁰ = 6⁵⁰ ⇒ 25²⁵ < 2⁵⁰ • 3⁵⁰

г) 63³⁰ = (9 • 7)³⁰ = 3⁶⁰ • 7³⁰ ⇒ 63³⁰ > 3⁶⁰ • 5³⁰

544. а) (-3³)² = 3⁶; б) (-3²)³ = -3⁶; в) -(3⁴)² = -3⁸; г) -(-3²)³ = 3⁶.

545. а) (x³)² • (-x³)⁴ = x^{3 • 2} x^{3 • 4} = x⁶ • x¹² = x¹⁸; б) (-у³)⁷ • (-у⁴)⁵ = -у^{3 • 7} • (-у^{4 • 5}) = у²¹ • у²⁰ = у⁴¹; в) (x⁷)⁵ • (-x²)⁶ = x^{7 • 5} • x^{2 • 6} = x³⁵ • x¹² = x⁴⁷; г) (-с⁹)⁴ • (с⁵)² = с^{9 • 4} • с^{5 • 2} = с³⁶ • с¹⁰ = с⁴⁶.

546. а) р⁵ = x²⁰ ⇒ р = x^{(20 : 5)} = x⁴; б) р⁷ = x²¹ ⇒ р = x^(21:7) = x³; в) р³с⁸ = с²⁰ ⇒p = = c⁴; г) у⁷ • (у²)⁴ = р⁵ ⇒ у⁷ • (у²)⁴ ⇒ у⁷ • у^{2 • 4} = у⁷ • y⁸ = у¹⁵ ⇒ р = у^{(15 : 5)} = у³.

547. а) 4⁵ • 2²¹ = (2²)⁵ • 2²¹ = 2¹⁰ • 2²¹ = 2³¹; б) 25¹³ : 5¹¹ = (5²)¹³ : 5¹¹ = 5²⁶ : 5¹¹ = 5^{26 - 11} = 5¹⁵;. в) 8⁵ • 16¹³ = (2³)⁵ • (2⁴)¹³ = 2¹⁵ • 2⁵² = 2⁶⁷; г) 27¹⁰ : 9¹⁵ = (3³)¹⁰ : (3²)¹⁵ = 3³⁰ : 3³⁰ = 3⁰.

548. а) (-x³)⁷ = -x^{3 • 7} = -x²¹; б) (-x²)⁵ = -x^{2 • 5} = -x¹⁰; в) (-x)⁴x⁸ = x^{4 + 8} = x¹²; г) (-x⁵)⁷ • (x²)³ = = -x³⁵ • x⁶ = -x⁴¹.

549. а) Разложим 15 на простые множители: 15 = 3 • 5 ⇒ 2¹⁵ = (2³)⁵ = (2⁵)³. Ответ: двумя способами. б) Разложим 6 на простые множители: 6 = 3 • 2 ⇒ 2⁶ = (2³)² = (2²)³. Ответ: двумя способами.

550. а) х² + у² = 0 — при х = у = 0; б) (х + у)² = 0 — при x = -у.

551. Так как единица в любой натуральной степени равняется самой себе, значит и число а в любой натурально степени будет заканчиваться на 1. Аналогичное свойство выполняется для цифр: 0; 5; 6.

552. a) 3^4k = (3⁴)^k = 81^k — так как единица в любой натуральной степени равняется самой себе, значит и число 81^k в любой натурально степени будет заканчиваться на 1; б) 10^k - 1: 10^k — состоит из единицы и к нулей; 10^k - 1 — состоит из к девяток, значит кратно 3.

<<< К началу