Делимость чисел

1. Пусть а и b — натуральные числа и при делении а на b в частном получается q и в остатке r. Тогда а = bq + r, где q и r — натуральные числа или нули, причём r < b.

Например:

2. Если натуральное число а делится на натуральное число b, то а называют кратным b, а b — делителем а. Это означает, что а = bq, где q — натуральное число. Например, 62 кратно 31, 31 — делитель 62, так как 62 = 31 • 2.

3. Простым числом называется такое натуральное число, которое имеет только два делителя — единицу и само это число.

Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.

Например, числа 2, 7, 43, 109 — простые, а числа 4, 12, 35 — составные. Число 1 не является ни простым, ни составным.

Всякое составное число можно разложить на простые множители, и притом единственным способом. Например, 630 = 2 • 3² • 5 • 7.

4. Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение всех получившихся простых множителей, взяв каждый из них с наибольшим показателем. Например, 72 = 2³ • 3²; 180 = 2² • 3² • 5 и 600 = 2³ • 3 • 5². Наименьшее общее кратное чисел 72, 180 и 600 равно 2³ • 3² • 5² = 1800.

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение общих простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим показателем. Например, наибольший общий делитель чисел 72, 180 и 600 равен 22 • 3, т. е. числу 12.

5. Если число оканчивается цифрой 0 или цифрой 5, то оно делится на 5. Если число оканчивается любой другой цифрой, то оно не делится на 5.

Если число оканчивается чётной цифрой, то оно делится на 2.

Если число оканчивается нечётной цифрой, то оно но делится на 2.

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3.

Если сумма цифр числа не делится на 3, то число не делится на 3.

Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9.

Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.