Формулы сокращённого умножения. О методе координат. Вычислительные средства

Формулы сокращённого умножения

Некоторые правила сокращённого умножения были известны ещё около 4 тыс. лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Тогда они формулировались словесно или геометрически.

У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не «а²», а «квадрат на отрезке а», не «ab», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками а и b». Например, тождество (а + by² = а² + 2аb + b² во второй книге «Начал» Евклида (III в. до н. э.) формулировалось так: «Если прямая линия (имеется в виду отрезок) как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключённым между отрезками». Доказательство опиралось на геометрические соображения (см. рис. 70).

Некоторые термины подобного геометрического изложения алгебры сохранились до сих пор. Так, мы называем вторую степень числа квадратом, а третью степень — кубом числа.

О методе координат

Первоначально идея координат зародилась в древности в связи с потребностями астрономии, географии, живописи. Так, на стене одной из древнеегипетских погребальных камер была обнаружена квадратная сетка (палетка), которой пользовались для увеличения изображений. Древнегреческий астроном Клавдий Птолемей (II в.) применил географические координаты (долготу и широту) для определения местонахождения мореплавателя. Идеей координат пользовались в Средние века для определения положения светил на небе, для определения места на поверхности Земли. Прямоугольной сеткой пользовались художники эпохи Возрождения.

Применять координаты в математике впервые стали П. Ферма и Р. Декарт. В 1637 г. вышла книга Р. Декарта «Рассуждения о методе», в которой наряду с общими философскими рассуждениями о материи значительное место уделяется «универсальной математике». В разделе этой книги «Геометрия» Р. Декарт предложил новый метод — метод координат, который позволил переходить от точки (в координатной плоскости) к паре чисел, от линии к уравнению, от геометрии к алгебре. Это была новая геометрия, которую в настоящее время называют аналитической геометрией. Заслуга Р. Декарта состояла в том, что он ввёл переменные координаты. Так, в уравнении ах + by = с буквы х и у стали рассматриваться не как неизвестные, а как переменные. Благодаря этому каждой прямой в координатной плоскости соответствует линейное уравнение ах + by = с (а или b — отличные от нуля числа) и наоборот.

Метод координат позволяет строить графики уравнений, изображать геометрически различные зависимости, выраженные аналитически с помощью уравнений и формул, решать различные геометрические задачи с помощью алгебры.

Термины «абсцисса» и «ордината» и название «координаты» были введены в употребление Г. Лейбницем в 70—80-е гг. XVII в.

Вычислительные средства

С давних нор люди стремились облегчить вычисления. Самой древней «счётной машиной» были пальцы рук и ног, камешки и другие мелкие предметы. Ремесленники и торговцы пользовались для счёта доской, разграфлённой на столбцы, на которой с помощью камешков откладывались единицы различных разрядов. Эту доску называли абаком. От римлян к нам пришло слово «калькуляция», что означает буквально «счёт камешками». Усовершенствование абака привело к появлению счётов (в Древнем Китае — «суан-чан», в Японии — «сорабан»). Русские счёты появились в XVI в.

Машину для механического производства арифметических действий называют арифмометром. Одними из первых таких машин были машины, созданные в 1641 г. французским учёным Блезом Паскалем (1623—1662) и в 1671 г. Г. Лейбницем. Массовое распространение получил арифмометр, сконструированный в 1874 г. петербургским механиком В. Однером.

Революцию в вычислительной технике совершили электронные вычислительные машины (ЭВМ), которые появились в середине XX столетия. Первая ЭВМ была создана в США в 1944 г. Первая советская ЭВМ была построена иод руководством академика С. А. Лебедева (1902—1974) в 1950 г. Современные ЭВМ производят несколько миллионов операций в секунду и находят широкое применение в различных областях науки и народного хозяйства. Простейшей ЭВМ является калькулятор.

<<< К началу