Тождества. Тождественные преобразования выражений

Найдём значения выражений 3(х + у) и 3x + 3у при х = 5, y = 4:

3(х + у) = 3(5 + 4) = 3 • 9 = 27,

3x + 3у = 3 • 5 + 3 • 4 = 15 + 12 = 27.

Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значения выражений 3(х + у) и 3х + 3у равны.

Рассмотрим теперь выражения 2х + у и 2ху. При х = 1, у = 2 они принимают равные значения:

2x + y = 2 • 1 + 2 = 4,

2ху = 2 • 1 • 2 = 4.

Однако можно указать такие значения х и у, при которых значения этих выражений не равны. Например, если х = 3, y = 4, то

2х + у = 2 • 3 + 4 = 10,

2ху = 2 • 3 • 4 = 24.

Определение Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.

Выражения 3(x + у) и 3x + 3у являются тождественно равными, а выражения 2х + у и 2ху не являются тождественно равными.

Равенство

3(x + у) = 3x + 3y

верно при любых значениях х и у. Такие равенства называются тождествами.

Определение Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством¹.

¹ В дальнейшем понятия «тождественно равные выражения» и «тождество* будут уточнены.

Тождествами считают и верные числовые равенства.

С примерами тождеств вы уже встречались. Так, тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами:

а + b = b + а, (а + b) + с = а + (b + с),

ab = ba, (ab)c = а(bс),

а(b + с) = аb + ас.

Можно привести и другие примеры тождеств:

а + 0 = а, а + (-а) = 0, а - b = а + (-b),

а • 1 = а, а • (-b) = -ab, (-а)(-b) = аb.

Чтобы найти значение выражения ху - хz при заданных значениях х, у и z, надо выполнить три действия. Например, при х = 2,3, у = 0,8, z = 0,2 получаем

ху- xz = 2,3 • 0,8 - 2,3 • 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.

Этот результат можно получить, выполнив лишь два действия, если воспользоваться выражением х(у - z), тождественно равным выражению ху - xz:

x(y - z) = 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 • 0,6 = 1,38.

Мы упростили вычисления, заменив выражение ху - xz тождественно равным выражением х(у - z).

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач. Некоторые тождественные преобразования вам уже приходилось выполнять, например приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила выполнения этих преобразований:

чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть;
если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки;
если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.

Продолжение >>>