§ 17. Свойства степени с натуральными показателями (продолжение)

Открытие второе

Пример 2. Вычислить: а) 2⁶ : 2⁴; б) 3⁸ : 3⁵.

Р е ш е н и е, а) Запишем частное в виде дроби и сократим её:

В процессе решения примера мы заметили, что

2⁶ : 2⁴ = 2², т.е. 2⁶ : 2⁴ = 2^{6 - 4};

3⁸ : 3⁵ = 3³, т.е. 3⁸ : 3⁵ = 3^{8 - 5}.

Наблюдается закономерность: основания делимого и делителя одинаковы, показатель делимого больше, чем показатель делителя, при этом из показателя делимого вычитается показатель делителя. Первый этап завершён.

На втором этапе предположим, что мы открыли общую закономерность: аⁿ : а^k = а^{п - k}, если n > k.

Теорема 2.

Для любого числа а Ф 0 и любых натуральных чисел п и k таких, что п > k, справедливо равенство

аⁿ : а^k = а^{n - k}

Можете ли вы сформулировать теорему 2 иначе, используя грамматическое построение «если ..., то ...»? Видите ли вы, где в этой теореме условие, а где заключение? Ответьте для себя на эти вопросы (а наш ответ будет приведён после доказательства теоремы).

Доказательство. Рассмотрим произведение а^{п - k} • а^k. Мы знаем, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются (об этом шла речь в теореме 1). Сложив показатели n - k и k, получим (n - k) + k = n.

Итак, а^{n - k} • а^k = аⁿ, а это как раз и означает, что аⁿ : а^k = а^{n - k}. Теорема доказана.

А теперь иначе сформулируем теорему 2:

Если а ≠ 0 и n, k — натуральные числа такие, что n > k, то справедливо равенство

аⁿ : а^k = а^{n - k}

Условие теоремы: а ≠ 0; n, k — натуральные числа, n > k.

Заключение теооемы: аⁿ : а^k = а^{n - k}.

Второе открытие у нас состоялось. Идём дальше.

Открытие третье

Пример 3. Вычислить: а) (2⁵)²; б) (3²)³.

Р е ш е н и е, а) Имеем

(2⁵)² = 2⁵ • 2⁵ = 2^{5 + 5} = 2¹⁰ = 1024 (см. § 16).

б) Имеем

(3²)³ = 3² • 3² • 3² = 3^{2 + 2 + 2} = 3⁶ - 729 (см. § 16).

О т в е т: а) 1024; б) 729.

В процессе решения примера мы заметили, что

(2⁵)² = 2¹⁰, т.е. (2⁵)² = 2^{5 • 2};

(3²)³ = 3⁶, т.е. (3²)³ = 3^{2 • 3}.

Наблюдается закономерность: в обоих случаях при возведении степени в степень показатели перемножаются. Первый этап завершён.

На втором этапе предположим, что мы открыли общую закономерность: (аⁿ)^k = а^nk.

Теорема 3.

Для любого числа а и любых натуральных чисел n и k. справедливо равенство
(аⁿ)^k = а^nk

Доказательство теоремы (третий этап) мы приводим в самом конце параграфа (пока ограничимся доказательствами теорем 1 и 2). Если есть желание, попытайтесь доказать её самостоятельно (или с помощью учителя).

<<< К началу Окончание >>>