§ 17. Свойства степени с натуральными показателями (окончание)

Мы совершили с вами три открытия, которые привели нас к трём серьёзным теоремам. Эти теоремы на практике удобнее формулировать в виде трёх правил, которые полезно запомнить.

Правило 1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются.
Правило 2. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитают показатель делителя.
Правило 3. При возведении степени в степень кпоказатели перемножаются.

Сравните эти три правила с формулировками теорем 1, 2, 3. Почувствовали разницу? В теоремах всё чётко, всё оговорено, всё предусмотрено, а в правилах ощущается какая-то неполнота, лёгкость мысли, поэтому они легче запоминаются и воспринимаются; правила похожи на афоризмы. Это тоже одна из особенностей математического языка: наряду с серьёзными отточенными формулировками используются и краткие афористичные правила.

Пример 4. Вычислить

Р е ш е н и е. 1) 2³ • 2⁴ = 2^{3 + 4} = 2⁷ (правило 1);

2) (27)⁵ = 2^{7 • 5} = 2³⁵ (правило 3);

3) 2 • 2⁸ = 2^{1 + 8} = 2⁹ (правило 1);

4) (2⁹)³ = 2^{9 • 3} = 2²⁷ (правило 3);

5) 2³⁵ : 2²⁷ = 2^{35 - 27} = 2⁸ (правило 2);

6) 2⁸ = 256.

О т в е т: 256.

Опытный оратор, выступив с длинной и трудной для слушателей речью, обязательно в конце доклада ещё раз выделит самое главное, самое важное. У нас с вами была очень трудная и напряжённая работа, давайте же и мы выделим самое главное.

Самое главное — три формулы:

аⁿ : а^k = а^{n + k}
аⁿ : а^k = а^{n - k}, где n > k, а ≠ 0;
(аⁿ)^k = а^nk

Их можно применять как справа налево, так и слева направо. Например,

Замечание. Мы говорили только об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями. А вот об их сложении и вычитании ничего не известно, так что не сочиняйте новых правил. Нельзя, например, заменять сумму 2⁴ + 2³ на 2⁷; в самом деле, посчитайте: 2⁴ = 16; 2³ = 8; 16 + 8 = 24, но это не есть 2⁷, поскольку 2⁷ = 128. Нельзя заменять разность 3⁵ - 3⁴ на 3¹; действительно, посчитайте: 3⁵ = 243; 3⁴ = 81; 243 - 81 = 162, но это не есть 3¹, так как 3¹ = 3. Будьте внимательны!

В заключение, как было обещано выше, докажем теорему 3. Имеем

Вопросы для самопроверки

1. Закончите предложение: «При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели ...».

2. Закончите предложение: «При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели ...».

3. Закончите предложение: «При возведении степени в степень показатели ...».

4. Запишите каждое из сформулированных вами в п. 1—3 правил на математическом языке.

5. Что получится, если 2¹⁷ умножить на 2¹³?

6. Что получится, если 2¹⁷ разделить на 2¹³?

7. Какое из двух равенств верно: (2⁴)³ = 2^{4 + 3} или (2⁴)³ = 2^{4 • 3}?

<<< К началу