§ 18. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

В предыдущем параграфе мы рассматривали умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями. Оказывается, можно умножать и делить степени и с разными основаниями, если только показатели у этих степеней одинаковые.

Пример 1. Вычислить 2⁴ • 5⁴.

Р е ш е н и е. Конечно, можно по таблице из § 16 установить, что 2⁴ = 16 , 5⁴ = 625, а затем умножить 16 на 625. Однако эффективнее следующее рассуждение:

2⁴ • 5⁴ = (2 • 2 • 2 • 2) • (5 • 5 • 5 • 5) = (2 • 5) • (2 • 5) • (2 • 5) • (2 • 5) = (2 • 5)⁴ = 10⁴ = 10 000.

В процессе решения мы получили числовое равенство

2⁴ • 5⁴ = (2 • 5)⁴.

Точно так же можно доказать, что а³b³ = (аb)³.

В самом деле,

а3b³ = (а • а • а) • (b • b • b) = ab • ab • ab = (ab)³.

Вообще имеет место равенство

аⁿbⁿ = (аb)ⁿ.

Для тех, кому интересно, приведём «молчаливое» доказательство этого утверждения. Попробуйте его «озвучить» и прокомментировать:

Пример 2. Вычислить

Р е ш е н и е. Конечно, можно производить вычисления «в лоб», т. е. найти 12⁶, затем 4⁶, затем первое число разделить на второе. Но лучше рассуждать так:

В процессе решения мы получили числовое равенство Точно так же можно доказать, что Вообще имеет место равенство

Обе эти формулы применяют как слева направо, так и справа налево. Их также можно оформить в виде правил действий над степенями, тогда к трём правилам из § 17 добавятся ещё два:

Окончание >>>