§ 22. Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень

В § 21 мы рассматривали сложение и вычитание одночленов. Оказалось, что эти операции применимы только к подобным одночленам. А как обстоит дело с умножением одночленов? Очень просто: если между двумя одночленами поставить знак умножения, то снова получится одночлен; остаётся лишь привести его к стандартному виду (фактически это мы уже делали в примере из § 20). Не вызывает затруднений и возведение одночлена в степень. При этом используются правила действий со степенями (фактически в примере 3 из § 18 мы уже возводили одночлен в степень, см. с. 94).

Все правила действий над буквенными выражениями определяются таким образом, чтобы не менялись значения этих выражений при любой подстановке допустимых значений переменных.

Пример 1. Найти произведение трёх одночленов: 2а²bс⁵, и а²b.

Р е ш е н и е.

Пример 2. Упростить выражение (-2а²bс³)⁵ (т. е. представить его в виде одночлена).

Решение.

(-2а²bс³)⁵ = -2⁵(a²)⁵b⁵(c³)⁵ = -32a¹⁰b⁵c¹⁵.

Мы использовали, во-первых, то, что при возведении произведения в степень надо возвести в эту степень каждый множитель. Поэтому у нас появилась запись 2⁵(а²)⁵b⁵(с³)⁵.

Во-вторых, мы воспользовались тем, что (-2)⁵ = -2⁵.

В-третьих, мы использовали то, что при возведении степени в степень показатели перемножаются. Поэтому вместо (а²)⁵ мы написали а10, а вместо (с³)⁵ мы написали с¹⁵.

Пример 3. Представить одночлен 36а²b⁴с⁵ в виде произведения одночленов.

Р е ш е н и е.

Здесь, как и в примере 2 из § 21, решение не единственное. Вот несколько вариантов решения:

36a²b⁴c⁵ = (18a²) • (2b⁴c⁵);
36a²b⁴c⁵ = (36abc) • (ab³c⁴);
36a²b⁴c⁵ = (-3b⁴) • (-12a²c⁵);
36a²b⁴c⁵ = (2a²) • (3bc) • (6b³c⁴).

Попробуйте сами придумать ещё несколько решений примера 3.

Пример 4. Представить данный одночлен А в виде Вⁿ, где В — одночлен, если:

а) А = 32а⁵, n = 5;
б) А = а³b⁶, n = 3;
в) А = 49а²b⁴c⁶, n = 2;
г) А = -27а³b⁹, n = 3;
д) А = 16а⁸b⁵, n = 4.

Окончание >>>