§ 26. Умножение многочлена на одночлен

Вы, наверное, заметили, что до сих пор глава 6 строилась по тому же плану, что и глава 5. В обеих главах сначала вводились основные понятия: в главе 5 это были одночлен, стандартный вид одночлена, коэффициент одночлена; в главе 6 — многочлен, стандартный вид многочлена. Затем в главе 5 мы рассматривали сложение и вычитание одночленов; аналогично в главе 6 — сложение и вычитание многочленов.

Что было в главе 5 дальше? Дальше мы говорили об умножении одночленов. Значит, по аналогии, о чём нам следует поговорить теперь? Об умножении многочленов. Но здесь придётся действовать не спеша: сначала (в этом параграфе) рассмотрим умножение многочлена на одночлен (или одночлена на многочлен, это всё равно), а потом (в следующем параграфе) — умножение любых многочленов. Когда вы в младших классах учились перемножать числа, вы ведь тоже действовали постепенно: сначала учились умножать многозначное число на однозначное и только потом умножали многозначное число на многозначное.

Приступим к делу. При умножении многочлена на одночлен используется распределительный закон умножения: (а + b)с = ас + bс.

Пример 1. Выполнить умножение: (2а² - 3ab) • (-5а).

Р е ш е н и е.

Введём новые переменные:

х = 2а², у = -3ab, z = -5а.

Тогда данное произведение перепишется в виде (х + у)z, что по распределительному закону равно хz + уz. Теперь вернёмся к старым переменным:

хz + уz = 2а² • (-5а) + (-3ab) • (-5а).

Нам остаётся лишь найти произведения одночленов. Получим

-10а³ + 15а²b.

Приведём краткую запись решения (так мы и будем записывать в дальнейшем, не вводя новых переменных):

(2а² - 3аb) • (-5а) = 2а² • (-5а) + (-3ab) • (-5а) = -10а³ + 15a²b.

Теперь мы можем сформулировать соответствующее правило умножения многочлена на одночлен.

Правило 2. Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить.

Это же правило действует и при умножении одночлена на многочлен:

-5а(2а² - 3ab) = (-5а) • 2а² + (-5а) • (-3ab) = -10а³ + 15а²b

(мы взяли пример 1, но поменяли местами множители).

Напомним ещё раз, что все правила действий над буквенными выражениями определяются таким образом, чтобы не менялись значения этих выражений при любой подстановке допустимых значений переменных.

Пример 2. Представить заданный многочлен в виде произведения многочлена и одночлена:

а) 2х²у + 4х; б) х² + 3у².

Р е ш е н и е.

а) Заметим, что 2х²y = 2х • ху, а 4х = 2х • 2. Значит,

2х²у + 4х = ху • 2х + 2 • 2х = (ху + 2) • 2х.

б) В примере а) нам удалось в составе каждого члена многочлена 2х²у + 4х выделить одинаковую часть (одинаковый множитель) 2х. Здесь же такой общей части нет. Значит, многочлен х² + 3у² нельзя представить в виде произведения многочлена и одночлена, содержащего переменные.

Кстати, требование представить заданный многочлен в виде произведения одночлена и многочлена встречается в математике довольно часто, поэтому указанной процедуре присвоено специальное название: вынесение общего множителя за скобки. Задание вынести общий множитель за скобки может быть корректным (как в примере 2а)), а может быть и не совсем корректным (как в примере 26)). В следующей главе мы специально рассмотрим этот вопрос.

В заключение параграфа решим задачи, которые покажут, что при работе с математическими моделями реальных ситуаций приходится и составлять алгебраическую сумму многочленов, и умножать многочлен на одночлен. Так что эти операции мы изучаем не зря.

Окончание >>>