§ 27. Умножение многочлена на многочлен

Овладев правилом умножения многочлена на одночлен, нетрудно сделать следующий шаг: получить правило умножения любых двух многочленов. Рассмотрим сначала произведение самых простых (после одночленов) многочленов, а именно двучленов а + b и с + d.

Итак, пусть нужно раскрыть скобки в произведении (a + b) (с + d). Введём новую переменную m = с + d, тогда получим

(а + b) (с + d) = (а + b)m = am + bm.

Вернёмся к исходным переменным:

am + bm = а(с + d) + b(c + d) = ас + ad + bc + bd.

Таким образом,

(а + b)(c + d) = ас + ad + bc + bd.

Аналогично можно проверить, что

(а + b + с)(х + у) = ах + ay + bx + by + сх + су

(сделайте это!), т. е., как и в случае умножения двучлена на двучлен, приходится каждый член первого многочлена поочерёдно умножать на каждый член второго многочлена и полученные произведения складывать.

Правило 3. Чтобы, умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена поочерёдно на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

В результате умножения многочленов всегда получается многочлен, надо лишь привести его к стандартному виду.

Пример. Выполнить умножение многочленов

p₁(x) = 2х² - 5х + 1 и р₂(х) = 3х - 4.

Р е ш е н и е.

p₁(x) • р²(х) = (2х² - 5х + 1)(3х - 4) =

= 2x² • 3х + 2х² • (-4) + (-5x) • 3х +

+ (-5х) • (-4) + 1 • 3х + 1 • (-4) =

= 6х³ - 8х² - 15x² + 20x + 3x - 4 =

= 6x³ - 23х² + 23x - 4.

Особенно внимательно нужно следить за знаками коэффициентов тех одночленов, которые получаются при раскрытии скобок. И ещё один совет: если у одного многочлена m членов, а у другого п членов, то в произведении должно быть (до приведения подобных членов) mn членов; если же их не mn, то вы что-то потеряли, проверьте. Так, в рассмотренном примере мы умножали трёхчлен на двучлен, получилась сумма шести слагаемых (а после приведения подобных членов осталось четыре слагаемых).

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен. Проиллюстрируйте его на придуманном вами примере умножения двучлена на двучлен.

2. Всегда ли задание найти произведение двух многочленов является корректным?