§ 28. Формулы сокращённого умножения

1. Квадрат суммы и квадрат разности

Умножим двучлен а + b на себя, т. е. раскроем скобки в произведении (а + b) (а + b), или, что то же самое, в выражении (а + b)²:

(а + b)² = (а + b)(a + b) = a • a + a • b + b- a + b • b = а² + ab + ab + b² = а² + 2 ab + b².

Аналогично получаем

(а - b)² = (а - b) (а - b) = а² - ab - bа + b² = а² - 2ab + b².

Итак,

На обычном языке формулу (1) читают так: квадрат суммы двух выражений равен сумме их квадратов плюс их удвоенное произведение.

Формулу (2) читают так: квадрат разности двух выражений равен сумме их квадратов минус их удвоенное произведение.

Этим формулам присвоены специальные названия: формуле (1) — квадрат суммы, формуле (2) — квадрат разности.

Пример 1. Раскрыть скобки в выражении:

а) (3х + 2)²; б) (5а² - 4b³)².

Р е ш е н и е.

а) Воспользуемся формулой (1), учитывая, что в роли а выступает 3х, а в роли b — число 2. Получим

(3x + 2)² = (3х)² + 2 • 3х • 2 + 2² = 9х² + 12х + 4.

б) Воспользуемся формулой (2), учитывая, что в роли а выступает 5а², а в роли b выступает 4b³. Получим

(5а² - 4b³)² = (5а²)² - 2 • 5а² • 4b³ + (4b³)² - 25а⁴ - 40а²b³ + 16b^6.

При использовании формул квадрата суммы или квадрата разности учитывайте, что

(-а - b)² = (а + b)²;
(b - а)² = (а - b)².

Это следует из того, что (-а)² = а².

Отметим, что на формулах (1) и (2) основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме. Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1, 2, 8 и 9. Смотрите:

71² = (70 + 1)² = 70² + 2 • 70 • 1 + 1² = 4900 + 140 + 1 = 5041;

91² = (90 + 1)² = 90² + 2 • 90 • 1 + 1² = 8100 + 180 + 1 = 8281;

69² = (70 - 1)² = 70² - 2 • 70 • 1 + 1² = 4900 - 140 + 1 = 4761;

102² = (100 + 2)² = 100² + 2 • 100 • 2 + 2² = 10000 + 400 + 4 = 10404;

48² = (50 - 2)² = 50² - 2 • 50 • 2 + 2² = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5. Проведём соответствующие рассуждения для 85².

Имеем

85² = (80 + 5)² = 80² + 2 • 80 • 5 + 5² = 80(80 + 10) + 25 = 80 • 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Замечаем, что для вычисления 85² достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 35² = 1225 (3 - 4 = 12, и к полученному числу приписали справа 25); 65² = 4225; 125² = 15 625 (12 • 13 = 156, и к полученному числу приписали справа 25).

Приведём доказательство отмеченного факта.

Пусть число а оканчивается цифрой 5, это значит, что а = 10b + 5, где b — число, полученное из числа а отбрасыванием последней цифры 5 (например, 125 = 10 • 12 + 5; здесь b = 12). Тогда

а² = (106 + 5)² = 100b² + 100b + 25 = 100b (b + 1) + 25.

Получили, что число 6 надо умножить на ² + 1, умножить полученное произведение на 100 и затем прибавить 25. Это равносильно тому, что к числу b(b + 1) справа приписали 25. Например, для вычисления 125² умножим 12 на 13, получим 156; справа припишем 25, получим 15 625.

Раз уж мы с вами заговорили о различных любопытных обстоятельствах, связанных со скучными (на первый взгляд) формулами (1) и (2), то дополним этот разговор следующим геометрическим рассуждением. Пусть а и b — положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а + b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и b (рис. 53).

Площадь квадрата со стороной а + b равна (а + b)². Этот квадрат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь равна а²), квадрат со стороной b (его площадь равна b²), два прямоугольника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника равна ab). Значит, (а + b)² = а² + b² + 2ab, т. е. получили формулу (1).

Продолжение >>>