§ 30. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно (окончание)

Таким образом, разложение многочлена на множители используется для решения уравнений, для преобразования числовых и алгебраических выражений. Применяется оно и в других ситуациях, как, скажем, в следующем, довольно трудном, но красивом примере, где ключ к успеху опять-таки в разложении на множители.

Пример. Доказать, что для любого натурального числа n выражение n³ + 3n² + 2n делится без остатка на 6.

Р е ш е н и е.

Пусть р(n) = n³ + 3n² + 2n.

Если n = 1, то р(1) = 1 + 3 + 2 = 6. Значит, р(1) делится на 6 без остатка.

Если n = 2, то р(2) = 2³ + 3 • 22 + 2 • 2 = 8 + 12 + 4 = 24. Следовательно, и р(2) делится на 6 без остатка.

Если n = 3, то р(3) = 3³ + 3 • 3² + 2 • 3 = 27 + 27 + 6 = 60. Поэтому и р(3) делится на 6 без остатка.

Но вы же понимаете, что перебрать так все натуральные числа нам не удастся. Как быть? На помощь приходят алгебраические методы.

Имеем

n³ + 3n² + 2n = n(n + 1) (n + 2).

В самом деле

n(n + 1) = n² + n,

(n² + n) (n + 2) = n³ + 2n² + n² + 2n = n³ + 3n² + 2n.

Итак,

р(n) = n(n + 1) (n + 2),

т. е. р(n) есть произведение трёх идущих подряд натуральных чисел n, n + 1, n + 2. Но из трёх таких чисел одно обязательно делится на 3, значит, и их произведение делится на 3. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел — чётное, т. е. делится на 2, значит, и произведение делится на 2. Итак, р(n) делится и на 2, и на 3, т. е. делится и на 6.

Всё прекрасно, скажете вы, но как догадаться, что n³ + 3n² + 2n = n(n + 1)(n + 2)? Ответ очевиден: надо учиться разложению многочленов на множители. К этому и перейдём: в каждом из следующих параграфов этой главы мы будем изучать тот или иной приём разложения многочлена на множители.

Вопросы для самопроверки

1. Используя материал данного параграфа, расскажите, для каких типов заданий нужно уметь раскладывать многочлен на множители. Попробуйте привести примеры таких заданий.

2. Решите уравнение х + 1 - ху - у = 0.

3. Вычислите без калькулятора:

<<< К началу