§ 30. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно

Для начала выполним знакомую операцию: умножим многочлен 2х - 3 на многочлен х + 2.

(2х - 3) (х + 2) = 2х • х + 2х • 2 - 3 • х - 3 • 2 = 2х² + 4х - 3х - 6 = 2х² + x - 6.

Итак, (2х - 3) (х + 2) = 2х² + х - 6.

Это равенство можно записать по-другому, поменяв его части местами:

2х² + х - 6 - (2x - 3) (x + 2).

Такая запись означает, что многочлен 2х² + х - 6 представлен в виде произведения более простых многочленов 2х - 3 и х + 2. Обычно в таких случаях говорят, что многочлен удалось разложить на множители.

На самом деле формулировка «разложение многочлена на множители» вам уже знакома, мы несколько раз использовали её в главе 6, но там же мы говорили, что позднее более подробно обсудим эту проблему (проблему разложения многочлена на множители). Это время пришло. Однако сначала убедимся в том, что разложение многочлена на множители — вещь полезная (иначе зачем нам этим заниматься?). Представьте себе, что вам предложили решить уравнение 2х - 3 = 0. Вы справитесь с этим без труда: 2х = 3, х = 1,5. Затем вам предложили решить уравнение х + 2 = 0. И с ним вы справитесь легко: х = -2. А теперь вам предлагают решить уравнение 2х² + х - 6 = 0, т. е. дать ответ на вопрос, при каких значениях х трёхчлен 2х² + х - 6 обращается в нуль, — эти значения х называют корнями уравнения. Для таких уравнений имеется специальное правило решения, но вы его пока не знаете. Как быть?

Воспользуемся полученным выше разложением многочлена 2х² + х - 6 на множители: 2х² + х - 6 = (2х - 3)(x + 2). Тогда заданное уравнение можно переписать в виде

(2х - 3)(х + 2) = 0.

Теперь остаётся воспользоваться следующим известным фактом: если произведение двух множителей равно нулю, то один из множителей равен нулю. Значит, либо 2х - 3 = 0, либо х + 2 = 0. Задача свелась к решению двух более простых уравнений. Из уравнения 2х - 3 = 0 получаем х = 1,5. Из уравнения х + 2 = 0 получаем х = -2. Уравнение решено, оно имеет два корня: 1,5 и -2.

Итак, разложение многочлена на множители может пригодиться нам для решения уравнений.

Рассмотрим другую ситуацию. Пусть нужно найти значение числового выражения Можно, конечно, проводить вычисления «в лоб», но более эффективно дважды воспользоваться формулой разности квадратов:

Разложение на множители позволило нам сократить дробь. Позднее мы оценим это и при выполнении действий с алгебраическими дробями.

Окончание >>>