§ 32. Способ группировки (окончание)

Пример 3. Разложить на множители многочлен

аb² - 2аb + 3а + 2b² - 4b + 6.

Р е ш е н и е.

Составим три группы: в первую включим первый и четвёртый члены, во вторую — второй и пятый, в третью — третий и шестой:

аb² - 2аb + 3а + 2b² - 4b + 6 = (аb² + 2b²) + (-2аb - 4b) + (3а + 6) = b²(а + 2) - 2b(a + 2) + 3(а + 2).

Во всех группах оказался общий множитель (а + 2), который можно вынести за скобки. Получим (а + 2) (b² - 2b + 3).

О т в е т: аb² - 2аb + 3а + 2b² - 4b + 6 = (а + 2) (b² - 2b + 3).

Иногда полезно проверить себя, т.е. в полученном разложении на множители выполнить операцию умножения многочленов (раскрыть скобки) и убедиться, что в результате получится тот многочлен, который был задан. А если нет? Тогда надо искать ошибку в разложении на множители.

Пример 4. Разложить на множители многочлен х² - 7х + 12.

Р е ш е н и е.

Наверное, вы думаете: какое отношение имеет этот пример к способу группировки, ведь здесь и группировать-то нечего? Это верно, но можно сделать небольшой фокус: если представить слагаемое —7х в виде суммы — 3x - 4х, то получится сумма уже не трёх (как в заданном многочлене), а четырёх слагаемых. Эти четыре слагаемых можно распределить по двум группам:

х² - 7х + 12 = х² - 3х - 4х + 12 = (х² - 3х) + (-4x + 12) = х (х - 3) - 4(х - 3) = (x - 3) (х - 4).

Пример 5. Решить уравнение:

а) х² - 7x + 12 = 0; б) х³ - 2х² + 3х - 6 = 0.

Решение.

а) Разложим трёхчлен х² - 7х + 12 на множители так, как это сделано в примере 4:

х² - 1х + 12 = (х - 3) (х - 4).

Тогда заданное уравнение можно переписать в виде (x - 3) (x - 4) = 0. Теперь ясно, что исходное уравнение имеет два корня: х = 3, х = 4.

б) Разложим многочлен х³ - 2х² + 3х - 6 на множители:

х³ - 2х² + 3х - 6 = (х³ - 2х²) + (3х - 6) = х²(х - 2) + 3 (х - 2) = (х - 2) (х² + 3).

Перепишем теперь заданное уравнение в виде

(х - 2) (х² + 3) = 0.

Так как произведение равно нулю, то равен нулю один из множителей. Но х² + 3 при любых значениях х является положительным числом, т. е. в нуль обратиться не может. Значит, может выполняться только равенство х - 2 = 0, откуда получаем х = 2.

О т в е т: а) 3, 4; б) 2.

Вопросы для самопроверки

Дан многочлен 2х³ + х²а - 2ах - а². Применяя для его разложения на множители способ группировки, можно поступить так:

а) сгруппировать попарно 1-й и 2-й, 3-й и 4-й члены;

б) сгруппировать попарно 1-й и 3-й, 2-й и 4-й члены;

в) сгруппировать попарно 1-й и 4-й, 2-й и 3-й члены.

В каких случаях группировка окажется удачной и приведёт к разложению многочлена на множители, а в каких — нет?

<<< К началу