§ 32. Способ группировки

Для уяснения сути способа группировки рассмотрим следующий пример.

Пример 1. Разложить на множители многочлен

2а² + 6а + аb + 3b.

Р е ш е н и е.

Объединим в одну группу первые два члена, а в другую — последние два члена многочлена:

(2а² + 6а) + (аb + 3b).

Замечаем, что в первой группе можно вынести за скобки 2а, а во второй группе — b, получим 2а (а + 3) + b(а + 3). Теперь мы видим, что «проявился» общий множитель (а + 3), который можно вынести за скобки. В результате получим (а + 3) (2а + b).

Поскольку процесс преобразований в примере 1 перемежался комментариями, приведём ещё раз решение, но уже без комментариев:

2а² + 6а + аb + 3b = (2а² + 6а) + (аb + 3b) = 2а (а + 3) + b(а + 3) = (а + 3) (2а + b).

Объединение членов многочлена 2а² + 6а + аб + 3b в группы можно осуществить различными способами. Однако нужно учитывать, что иногда такая группировка оказывается удачной для последующего разложения на множители, а иногда нет. Проведём эксперимент. Объединим в одну группу первый и третий члены рассматриваемого многочлена, а в другую группу — второй и четвёртый:

2а² + 6а + аb + 3b = (2а² + аb) + (6а + 3b) = а (2а + b) + 3(2а + b) = (2а + b) (а + 3).

Разложение на множители получилось, группировка оказалась удачной.

Теперь объединим в одну группу первый и четвёртый члены, а в другую — второй и третий:

2а² + 6а + аb + 3b = (2а² + 3b) + (6а + аb) = (2а² + 3b) + а (6 + b).

Эта группировка явно неудачна.

Подведём итоги. Члены многочлена можно группировать так, как нам хочется. Иногда удаётся такая группировка, что после вынесения общего множителя в каждой группе в скобках остаётся один и тот же многочлен, который, в свою очередь, может быть вынесен за скобки как общий множитель. Тогда говорят, что разложение многочлена на множители осуществлено способом группировки.

Пример 2. Разложить на множители многочлен

ху - 6 + 3х - 2у.

Р е ш е н и е.

Первый способ группировки:

ху - 6 + 3х - 2у = (ху - 6) + (3х - 2у).

Группировка неудачна.

Второй способ группировки:

ху - 6 + 3х - 2у = (ху + 3х) + (-6 - 2у) = х(у + 3) - 2(у + 3) = (у + 3) (x - 2).

Третий способ группировки:

ху - 6 + 3х - 2у = (ху - 2у) + (-6 + 3х) = у(х - 2) + 3(х -2) = (х-2)(у + 3).

О т в е т: ху - 6 + 3x - 2у = (х - 2) (у + 3).

Как видите, не всегда с первого раза группировка бывает удачной. Если группировка оказалась неудачной, то откажитесь от неё, ищите иной способ. По мере приобретения опыта вы будете быстро находить удачную группировку, как это сделано в следующем примере.

Окончание >>>