Главная >> Алгебра 7 класс Мордкович

Глава 7. Разложение многочленов на множители

§ 33. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения

В § 28 мы получили пять формул сокращённого умножения. Там же мы отметили, что любой из этих формул можно пользоваться как для сокращённого умножения многочлена на многочлен (если применять формулы в том виде, в котором они были записаны в § 28), так и для разложения многочлена на множители, если их переписать следующим образом:

а2 - b2 = (а - b) (а + b);                               (1)

a3 - b3 = (а - b) (а2 + ab + b2);                    (2)

a3 + b3 = (а + b) (а2 - ab + b2);                     (3)

а2 + 2аb + b2 = (а + b)2;                               (4)

а2 - 2аb + b2 = (а - b)2.                                (5)

Первую из этих формул можно применять к выражению, представляющему собой разность квадратов (безразлично чего — чисел, одночленов, многочленов), вторую и третью — к выражению, представляющему собой разность (сумму) кубов; последние две формулы применяются к трёхчлену, представляющему собой полный квадрат, т. е. содержащему сумму квадратов двух выражений и удвоенное произведение тех же выражений.

Пример 1. Разложить на множители:

    а) 64x2 - 9;

    б) x6 - 4а4;

    в) (2х - 1)2 - 25;

    г) (а + 3)2 - (b - 2)2.

Р е ш е н и е.

Во всех четырёх примерах воспользуемся формулой (1) (разность квадратов):

    а) 64х2 - 9 = (8х)2 - 32 = (8х - 3) (8х + 3);

    б) х6 - 4а4 = (х3)2 - (2а2)2 = (х3 - 2а2) (х3 + 2а2);

    в) (2х - 1)2 - 25 = (2х - 1)2 - 52 = ((2х - 1) - 5) ((2х - 1) + 5) = (2х - 6) (2х + 4) = 2(х - 3) • 2(х + 2) = 4(х - 3) (х + 2).

Здесь, кроме формулы разности квадратов, мы использовали приём вынесения общего множителя за скобки — для двучленов 2х - 6 и 2х + 4.

    г) (а + 3)2 - (b - 2)2 = ((а + 3) - (b - 2)) ((а + 3) + (b - 2)) = (а + 3 - b + 2)(а + 3 + b - 2) = (а - b + 5) (а + b + 1).

Пример 2. Разложить на множители:

    а) 125а3 - 8b3; б) а6 + 27b3; в) x6 - а6.

Р е ш е н и е.

Здесь воспользуемся формулами (2) и (3) (разность и сумма кубов).

    а) 125а3 - 8b3 = (5а)3 - (2b)3 = (5а - 2b) ((5а)2 + 5а • 2b + (2b)2) = (5а - 2b) (25а2 + 10аb + 4b2).

в) Первый способ:

    х6 - а6 = (х2)3 - (а2)3 = (х2 - а2) ((х2)2 + х2 • а2 + (а2)2) = (х - а) (х + а) (x4 + х2а2 + а4).

Второй способ:

    х6 - а6 = (х3)2 - (а3)2 = (х3 - а3) (х3 + а3) = (х - а) (х2 + ха + а2) (х + а) (х2 - ха + а2).

Окончание >>>

 

 

???????@Mail.ru