|
|
|
|
|
Глава 7. Разложение многочленов на множители
§ 33. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения (окончание)
Замечание. В примере 2в) при одном способе решения получилось разложение
(х - а) (х + а) (х4 + х2а2 + а4),
а при другом способе — разложение (х - а) (х + а) (х2 + ха + а2) (х2 - ха + а2). Разумеется, это одно и то же: в следующем параграфе мы покажем, как от многочлена х4 + х2а2 + а4 перейти к произведению (х2 + ха + а2) (х2 - ха + а2). Впрочем, и сейчас вы можете убедиться, что х4 + х2а2 + а4 = (х2 + ха + а2) (х2 - ха + а2). Для этого достаточно раскрыть скобки в правой части равенства (сделайте это). Пример 3. Разложить на множители: а) а2 - 4ab + 4b2; б) х4 + 2х2 + 1; в) 4х4 - 12х2у + 9у2; г) 25а2 + 10ab + 4b2. Р е ш е н и е. В этих примерах даны трёхчлены, для их разложения на множители будем пользоваться формулами (4) и (5), если, конечно, убедимся в том, что трёхчлен является полным квадратом. а) a2 - 4ab + 4b2 = а2 + (2b)2 - 2 • а • 2b = (а - 2b)2. Мы убедились, что трёхчлен содержит сумму квадратов одночленов а и 2b, а также удвоенное произведение этих одночленов. Значит, это полный квадрат, причём квадрат разности. б) х4 + 2х2 + 1 = (х2)2 + 12 + 2 • х2 • 1 = (х2 + 1)2; в) 4х4 - 12х2у + 9у2 = (2х2)2 + (3у)2 - 2 • 2х2 • 3у = (2х2 - 3у)2; г) 25a2 + 10ab + 4b2 = (5а)2 + (2b)2 + 5а • 2b. Так как 10ab — это не удвоенное произведение одночленов 5а и 2b, то данный трёхчлен не является полным квадратом. Разложить его на множители с помощью формул (4) или (5) мы не можем.
Подчеркнём ещё раз: если хотите воспользоваться формулами (4) или (5), то сначала убедитесь, что заданный трёхчлен есть полный квадрат. В противном случае формулы (4) и (5) применять нельзя — именно так обстояло дело в примере 3г). Вопросы для самопроверки 1. Приведите пример разложения многочлена на множители по формуле разности квадратов. 2. Приведите пример разложения многочлена на множители по формуле разности кубов. 3. Приведите пример разложения многочлена на множители по формуле суммы кубов. 4. Приведите пример трёхчлена, который является полным квадратом суммы двух выражений, и разложите его на множители. 5. Приведите пример трёхчлена, который является полным квадратом разности двух выражений, и разложите его на множители.
|
|
|