§ 34. Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приёмов

В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один приём, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один приём, затем другой и т. д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приёмы, надо ещё уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим в данном параграфе.

Пример 1. Разложить на множители многочлен

36а⁶b³ - 96а⁴b⁴ + 64а²b⁵.

Р е ш е н и е.

1) Сначала займёмся вынесением общего множителя за скобки. Рассмотрим коэффициенты 36, 96, 64. Все они делятся на 4, причём это — наибольший общий делитель, вынесем его за скобки. Во все члены многочлена входит переменная а (в первый а⁶, во второй а⁴, в третий а²), поэтому за скобки можно вынести а². Точно так же во все члены многочлена входит переменная b (в первый b³, во второй b⁴, в третий b⁵) — за скобки можно вынести b³.

Итак, за скобки вынесем 4а²b³. Тогда получим

36а⁶b³ - 96а⁴b⁴ + 64а²b⁵ = 4а²b³(9а⁴ - 24а²b + 16b²).

2) Рассмотрим трёхчлен 9а⁴ - 24а²b + 16b². Выясним, не является ли он полным квадратом. Имеем

9а⁴ - 24а²b + 16b² = (3а²)² + (4b)² - 2 • 3а² • 4b.

Все условия полного квадрата соблюдены, следовательно,

9а⁴ - 24а²b + 16b² = (3а² - 4b)².

3) Комбинируя два приёма (вынесение общего множителя за скобки и использование формулы сокращённого умножения), получаем окончательный результат:

36а⁶b³ - 96а⁴b⁴ + 64а²b⁵ = 4а²b³(3а² - 4b)².

Пример 2. Разложить на множители многочлен а² - с² + b² + 2аb.

Р е ш е н и е.

1) Сначала попробуем воспользоваться способом группировки. До сих пор четыре слагаемых мы разбивали на группы по парам (см. § 32). Попытаемся и здесь сделать так же:

а² - с² + b² + 2ab = (а² - с²) + (b² + 2ab) = (а - с) (а + с) + b(b + 2а).

Эта группировка неудачна, нет общего множителя.

Попробуем по-другому:

а² - с² + b² + 2ab = (а² + b²) + (-с² + 2ab),

здесь также ничего хорошего нет.

Третья попытка:

а² - с² + b² + 2ab = (а² + 2ab) + (-с² + b²) = а (а + 2b) + (b - с) (b + с),

и здесь нет общего множителя.

Однако всё-таки способ группировки в этом примере сработает. Ведь ниоткуда не следует, что группировать слагаемые можно только по парам, это можно сделать и так:

а² - с² + b² + 2ab = (а² + 2ab + b²) - с² = (а + b)² - с².

Теперь вы отчётливо видите структуру данного многочлена: разность квадратов.

2) К полученному выражению применим формулу разности квадратов:

(а + b)² - с² = ((а + b) - с) ((а + b) + с) = (a + b - с) (а + b + с).

Итак, комбинируя два приёма (группировку и использование формул сокращённого умножения — квадрат суммы и разность квадратов), мы получили окончательный результат:

а² - с² + b² + 2ab = (а + b - с) (а + b + с).

Пример 3. Разложить на множители двучлен х⁴ + 4y⁴.

Р е ш е н и е.

Проанализируем структуру данного двучлена. Что такое x⁴? Это (x²)². Что такое 4у⁴? Это (2у²)². Значит, имеем сумму квадратов (х²)² + (2у²)². Обычно, увидев сумму квадратов двух выражений (чисел, одночленов, многочленов), математик ищет удвоенное произведение этих выражений для того, чтобы получить полный квадрат. В данном случае таким удвоенным произведением будет 2 • х² • 2у², т.е. 4х²у². Но его в примере нет. Что же делать?

Прибавим к заданному многочлену то, что нам нужно, но, чтобы ничего не изменилось, тут же и вычтем:

(х²)² + (2у²)² + 4х²у² - 4х²у².

Это даёт возможность сгруппировать первые три члена так, что выделится полный квадрат. Дальнейшее решение идёт по плану примера 2.

Приведём полное решение примера уже без комментариев:

х⁴ + 4у⁴ = (х²)² + (2у²)² = ((х²)² + (2у²)² + 4х²у²) - 4х²у² = (х² + 2у²)² - (2xy)² = (х² + 2у² - 2ху) (х² + 2у² + 2ху).

В этом примере мы впервые применили метод выделения полного квадрата. Он будет полезен нам и в дальнейшем, в частности при решении следующего примера.

Окончание >>>