§ 34. Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приёмов (окончание)

Пример 4. Разложить на множители трёхчлен

х⁴ + х²а² + а⁴.

Р е ш е н и е.

Применим метод выделения полного квадрата. Для этого представим х²а² в виде 2х²а² - х²а². Получим

х⁴ + х²а² + а⁴ = х⁴ + 2х²а² - х²а² + а⁴ = (х⁴ + 2х²а² + а⁴) - х²а² = (х² + а²)² - (ха)² - (х² + а² - ха) (х² + а² + ха).

А теперь вернитесь, пожалуйста, к замечанию, которое было сделано в § 33 (после примера 2). Как видите, мы выполнили данное там обещание.

Пример 5. Разложить на множители трёхчлен n³ + 3n² + 2n.

Решение.

Сначала воспользуемся тем, что п можно вынести за скобки: n(n² + 3n + 2). Теперь к трёхчлену n² + 3n + 2 применим способ группировки, предварительно представив 3n в виде 2n + n:

n² + 3n + 2 = n² + 2n + n + 2 = (n² + 2n) + (n + 2) = n(n + 2) + (n + 2) = (n + 2) (n + 1).

Итак, n³ + 3n² + 2n = n(n + 1) (n + 2).

Этим разложением мы уже воспользовались в § 30. Правда, там это было сделано без обоснований, зато теперь всё встало на свои места.

Пример 6. Вычислить 38,8² + 83 • 15,4 - 44,2². Решение. Последовательно применим группировку, формулы сокращённого умножения, вынесение общего множителя за скобки. Эта совокупность алгебраических приёмов позволит провести арифметические вычисления легко и изящно:

38,8² + 83 • 15,4 - 44,2² = 83 • 15,4 - (44,2² - 38,8²) = 83 • 15,4 - (44,2 - 38,8) (44,2 + 38,8) = 83 • 15,4 - 5,4 • 83 = 83 • (15,4 - 5,4) = 83 • 10 = 830.

Заканчивая этот параграф, вернёмся к тому, с чего мы начинали главу 7. В § 30 мы говорили о том, что разложение на множители — один из методов решения уравнений. В следующем примере мы и воспользуемся этим методом.

Предварительно отметим следующее. В математике и смежных науках часто встречаются уравнения вида ах² + bх + с = 0, где а, b, с — числа (коэффициенты), причём а ≠ 0. Например, 2х² - 3x + 2 = 0, х² + 4х - 8,5 = 0 и т. д. Такие уравнения называют квадратными, мы специально займёмся их изучением в 8-м классе. Но некоторые квадратные уравнения мы можем решить уже теперь. Одно квадратное уравнение мы решили выше, в § 32 (см. пример 5а), сейчас решим ещё одно, причём даже двумя способами (правда, обычно делают не так, а пользуются готовыми формулами для решения квадратных уравнений, но вы их пока не знаете).

Пример 7. Решить уравнение х² - 6x + 5 = 0.

Р е ш е н и е.

Первый способ. Представим -6х в виде суммы -х - 5х, а затем применим способ группировки:

х² - 6х + 5 = х² - х - 5х + 5 = (х² - х) + (-5х + 5) = х(х - 1) - 5(x - 1) = (х - 1)(х - 5).

Тогда заданное уравнение примет вид

(х - 1)(х - 5) = 0,

откуда находим, что либо х = 1, либо х = 5.

Второй способ. Применим метод выделения полного квадрата, для чего представим слагаемое 5 в виде 9-4. Получим

х² - 6х + 5 = х² - 6х + 9 - 4 = (х² - 6х + 9) - 4 = (x - 3)² - 2² = (х - 3 - 2)(х - 3 + 2) = (х - 5)(х - 1).

Снова пришли к уравнению (х - 1)(х - 5) = 0, имеющему корни 1 и 5.

О т в е т: 1, 5.

Вопросы для самопроверки

1. Почему прочитанный вами параграф носит такое название?

2. В чём заключается метод выделения полного квадрата?

3. Расскажите, о комбинации каких приёмов шла речь в данном параграфе.

<<< К началу