§ 35. Сокращение алгебраических дробей

Новое понятие в математике редко возникает «из ничего», «на пустом месте». Оно появляется тогда, когда в нём ощущается объективная необходимость. Именно так появились в математике отрицательные числа, так появились обыкновенные и десятичные дроби.

Предпосылки для введения нового понятия «алгебраическая дробь» у нас имеются. Давайте вернёмся к § 23. Обсуждая там деление одночлена на одночлен, мы рассмотрели ряд примеров. Выделим два из них.

1. Разделить одночлен 36а³b⁵ на одночлен 4ab² (см. пример 1в) из § 23).

Решали мы его так. Вместо записи 36а³b⁵ : 4ab² использовали черту дроби: (ведь А: В и — одно и то же). Это позволило вместо записей 36 : 4, а³ : a, b⁵ : b² также использовать черту дроби, что сделало решение примера более наглядным:

2. Разделить одночлен 4х³ на одночлен 2ху (см. пример 1д) из § 23).

Действуя по тому же образцу, мы получили

В § 23 мы отметили, что одночлен 4х³ не удалось разделить на одночлен 2ху так, чтобы получился одночлен. Но ведь математические модели могут содержать операцию деления любых одночленов, не обязательно таких, что один делится на другой. Поэтому математики ввели новое понятие — понятие алгебраической дроби. В частности, — алгебраическая дробь.

Теперь вернёмся к § 29. Обсуждая там операцию деления многочлена на одночлен, мы отметили, что она не всегда выполнима. Так, в примере 2 из § 29 речь шла о делении двучлена 6x³ - 24х² на одночлен 6х². Эта операция оказалась выполнимой, и в результате мы получили двучлен х - 4. Значит,

Иными словами, алгебраическое выражение удалось заменить более простым выражением — многочленом х - 4.

В то же время в примере 3 из § 29 не удалось разделить многочлен 8а³ + 6а²b — b на 2а², т. е. выражение не удалось заменить более простым выражением, пришлось так и оставить его в виде алгебраической дроби.

Что же касается операции деления многочлена на многочлен, то единственное, что мы можем сейчас сказать: один многочлен можно разделить на другой, если этот другой многочлен является одним из множителей в разложении первого многочлена на множители.

Например, х³ - 1 = (х - 1) (х² + х + 1). Значит, х³ - 1 можно разделить на х² + х + 1, получится х - 1; х³ - 1 можно разделить на х - 1, получится х² + х + 1.

Алгебраической дробью называют отношение двух многочленов Р и Q. При этом используют запись где Р — числитель, Q — знаменатель алгебраической дроби.

Примеры алгебраических дробей:

Иногда алгебраическую дробь удаётся заменить многочленом.

Окончание >>>