|
|
|
Глава 8. Функция у = х2
§ 37. Функция у = х2 и её график (окончание)Пример 2. Найти точки пересечения параболы у = х2 и прямой у = х + 2. Р е ш е н и е. Построим в одной системе координат параболу у = х2 и прямую у = х + 2 (рис. 61). Они пересекаются в точках А и В, причём по чертежу нетрудно найти координаты этих точек А и В: для точки А имеем х = -1, у = 1, а для точки В имеем х = 2, у = 4. О т в е т: парабола у = х2 и прямая у = х + 2 пересекаются в двух точках: А(-1; 1) и В(2; 4).
Важное замечание. До сих пор мы с вами довольно смело делали выводы с помощью чертежа. Однако математики не слишком доверяют чертежам. Обнаружив на рисунке 61 две точки пересечения параболы и прямой и определив с помощью рисунка координаты этих точек, математик обычно проверяет себя: на самом ли деле точка (-1; 1) лежит как на прямой, так и на параболе; действительно ли точка (2; 4) лежит и на прямой, и на параболе? Для этого нужно подставить координаты точек А и B в уравнение прямой и в уравнение параболы, а затем убедиться, что и в том и в другом случае получится верное равенство. В примере 2 в обоих случаях получатся верные равенства. Особенно часто проводят такую проверку, когда сомневаются в точности чертежа. Пример 3. Построить график функции у = -х2. Р е ш е н и е. Сравним функции у = х2 и у = -х2. При одном и том же значении аргумента, например при х = а, первая функция принимает значение а2, а вторая — значение -а2. Значит, на графике первой функции есть точка (а; а2), а на графике второй функции — точка (а; -а2). Эти точки расположены на координатной плоскости хОу симметрично относительно оси абсцисс (рис. 63). Значит, график функции у = -х2 симметричен графику функции у = х2 относительно оси абсцисс (рис. 64). Это та же парабола с той же вершиной и с той же осью симметрии, но только ветви параболы направлены не вверх, а вниз.
В заключение отметим одно любопытное свойство параболы. Если рассматривать параболу у = х2 как экран, отражающий поверхность, а в точке Вопросы для самопроверки 1. Как называют график функции у = х2? график функции y = -х2? 2. Что является осью симметрии графика функции у = х2? графика функции у = -х2? 3. Что является вершиной графика функции у = х2? графика функции у = -х2? 4. Даны функции у = х2 и у = -х2. Какая из них возрастает при х ≤ 0 и убывает при х ≥ 0? Какая из них убывает при х ≤ 0 и возрастает при х ≥ 0? 5. Что можно сказать о взаимном расположении графиков функций у = х2 и у = -х2? 6. Дана функция у = х2. Придумайте линейную функцию у = kx + m такую, что графики обеих функций: а) не пересекаются; б) пересекаются в двух точках; в) имеют одну общую точку. 7. Дана функция у = -х2. Придумайте линейную функцию у = kx + m такую, что графики обеих функций: а) не пересекаются; б) пересекаются в двух точках; в) имеют одну общую точку.
|
|
|