Главная >> Алгебра 7 класс Мордкович

Глава 8. Функция у = х²

§ 37. Функция у = х² и её график (окончание)

Пример 2. Найти точки пересечения параболы у = х² и прямой у = х + 2.

Р е ш е н и е.

Построим в одной системе координат параболу у = х² и прямую у = х + 2 (рис. 61). Они пересекаются в точках А и В, причём по чертежу нетрудно найти координаты этих точек А и В: для точки А имеем х = -1, у = 1, а для точки В имеем х = 2, у = 4.

О т в е т: парабола у = х² и прямая у = х + 2 пересекаются в двух точках: А(-1; 1) и В(2; 4).

Важное замечание. До сих пор мы с вами довольно смело делали выводы с помощью чертежа. Однако математики не слишком доверяют чертежам. Обнаружив на рисунке 61 две точки пересечения параболы и прямой и определив с помощью рисунка координаты этих точек, математик обычно проверяет себя: на самом ли деле точка (-1; 1) лежит как на прямой, так и на параболе; действительно ли точка (2; 4) лежит и на прямой, и на параболе? Для этого нужно подставить координаты точек А и B в уравнение прямой и в уравнение параболы, а затем убедиться, что и в том и в другом случае получится верное равенство. В примере 2 в обоих случаях получатся верные равенства. Особенно часто проводят такую проверку, когда сомневаются в точности чертежа.

Пример 3. Построить график функции у = -х².

Р е ш е н и е. Сравним функции у = х² и у = -х². При одном и том же значении аргумента, например при х = а, первая функция принимает значение а², а вторая — значение -а². Значит, на графике первой функции есть точка (а; а²), а на графике второй функции — точка (а; -а²). Эти точки расположены на координатной плоскости хОу симметрично относительно оси абсцисс (рис. 63). Значит, график функции у = -х² симметричен графику функции у = х² относительно оси абсцисс (рис. 64). Это та же парабола с той же вершиной и с той же осью симметрии, но только ветви параболы направлены не вверх, а вниз.

В заключение отметим одно любопытное свойство параболы. Если рассматривать параболу у = х² как экран, отражающий поверхность, а в точке поместить источник света, то лучи, отражаясь от параболы-экрана, образуют параллельный пучок света (см. рис. 62). Точку называют фокусом параболы. Эта идея используется в автомобилях: отражающая поверхность фары имеет параболическую форму, а лампочку помещают в фокусе — тогда свет от фары распространяется достаточно далеко.

Вопросы для самопроверки

1. Как называют график функции у = х²? график функции y = -х²?

2. Что является осью симметрии графика функции у = х²? графика функции у = -х²?

3. Что является вершиной графика функции у = х²? графика функции у = -х²?

4. Даны функции у = х² и у = -х². Какая из них возрастает при х ≤ 0 и убывает при х ≥ 0? Какая из них убывает при х ≤ 0 и возрастает при х ≥ 0?

5. Что можно сказать о взаимном расположении графиков функций у = х² и у = -х²?

6. Дана функция у = х². Придумайте линейную функцию у = kx + m такую, что графики обеих функций: а) не пересекаются; б) пересекаются в двух точках; в) имеют одну общую точку.

7. Дана функция у = -х². Придумайте линейную функцию у = kx + m такую, что графики обеих функций: а) не пересекаются; б) пересекаются в двух точках; в) имеют одну общую точку.

<<< К началу