§ 6. Координатная плоскость (окончание)

Итак, как находить координаты точки в координатной плоскости, мы обсудили. А как решать обратную задачу, т. е. как, задав координаты, построить соответствующую точку? Чтобы выработать алгоритм, проведём два вспомогательных, но в то же время важных рассуждения.

Первое рассуждение. Пусть в системе координат хОу проведена прямая l, параллельная оси у и пересекающая ось х в точке с координатой (абсциссой) 4 (рис. 22). Любая точка, лежащая на этой прямой, имеет абсциссу 4. Так, для точек M₁, М₂, М₃ имеем М₁(4; 3), М₂(4; 6), М₃(4; -2). Иными словами, абсцисса любой точки М прямой l удовлетворяет условию х — 4. Если же взять точку, не лежащую на этой прямой, то её абсцисса будет отлична от 4. Говорят, что х = 4 — уравнение прямой l или что прямая l (и только она) удовлетворяет уравнению х = 4.

На рисунке 23 изображены прямые, удовлетворяющие уравнениям х = -4 (прямая (l₁), х = -1 (прямая l₂), х = 3,5 (прямая l₃). А какая прямая удовлетворяет уравнению х = 0? Догадались? Ось у.

Второе рассуждение. Пусть в системе координат хОу проведена прямая l, параллельная оси х и пересекающая ось у в точке с координатой (ординатой) 3 (рис. 24). Любая точка, лежащая на этой прямой, имеет ординату 3. Так, для точек M₁, М₂, М₃ имеем: М₁(0; 3), М₂(4; 3), М₃(-2; 3). Иными словами, ордината любой точки М прямой l удовлетворяет условию у = 3. Если же взять точку, не лежащую на этой прямой, то её ордината будет отлична от 3. Говорят, что у = 3 — уравнение прямой l или что прямая l (и только она) удовлетворяет уравнению у = 3.

На рисунке 25 изображены прямые, удовлетворяющие уравнениям у = -4 (прямая (l₁), у = -1 (прямая l₂), у = 3,5 (прямая l₃). А какая прямая удовлетворяет уравнению у = 0? Догадались? Ось х.

Заметим, что математики, стремясь к краткости речи, говорят «прямая х — 4», а не «прямая, удовлетворяющая уравнению х = 4». Аналогично они говорят «прямая у — 3», а не «прямая, удовлетворяющая уравнению у — 3». Мы будем поступать точно так же.

Вернёмся теперь к рисунку 17. Обратите внимание, что точка М(-1,5; 2), которая там изображена, есть точка пересечения прямой х = -1,5 и прямой у — 2. Теперь, видимо, будет понятен алгоритм построения точки по заданным её координатам.

Алгоритм построения точки М(а; b) в прямоугольной системе координат хОу
1. Построить прямую х — а.
2. Построить прямую у — b.
3. Найти точку пересечения построенных прямых — это и будет точка М(а; b).

Пример. В системе координат хОу построить точки:

А(1; 3), В(-2; 1), С(4; 0), D(0; -3).

Р е ш е н и е. Точка А есть точка пересечения прямых х = 1 и у = 3 (рис. 26).

Точка В есть точка пересечения прямых х = -2 и у = 1 (рис. 26). Точка С принадлежит оси х, а точка D — оси у (см. рис. 26).

Впервые прямоугольную систему координат на плоскости стал активно использовать французский философ Рене Декарт (1596—1650) для решения геометрических задач алгебраическими методами и, обратно, для замены алгебраических моделей геометрическими. Поэтому иногда говорят: «декартова система координат», «декартовы координаты».

Вопросы для самопроверки

1. Что такое прямоугольная система координат на плоскости?

2. Как на координатной плоскости хОу построить прямую:

а) х = а; б) у = b?

3. Сформулируйте алгоритм отыскания координат точки М, заданной в системе координат хОу.

4. Сформулируйте алгоритм построения точки М(а; Ь) в прямоугольной системе координат хОу.

5. В какой четверти координатной плоскости хОу находится точка М(х; у) если:

а) х < 0, у > 0; б) х > 0, у < 0; в) х < 0, у < 0; г) х > 0, у > 0?

6. Какая прямая в координатной плоскости хОу задаётся уравнением:

а) х = 0; б) у = 0?

<<< К началу