§ 7. Линейное уравнение с двумя переменными и его график

В главе 1 мы видели, что математической моделью реальной ситуации может служить линейное уравнение с одной переменной или уравнение, которое после преобразований сводится к линейному. А теперь рассмотрим такую реальную ситуацию.

Из городов А и В, расстояние между которыми 500 км, навстречу друг другу вышли два поезда, каждый со своей постоянной скоростью. Известно, что первый поезд вышел на 2 ч раньше второго. Через 3 ч после выхода второго поезда они встретились. Чему равны скорости поездов?

Составим математическую модель задачи. Пусть х км/ч — скорость первого поезда, у км/ч — скорость второго поезда. Первый был в пути 5 ч и, значит, прошёл путь 5х км. Второй поезд был в пути 3 ч, т. е. прошёл путь 3у км. Их встреча произошла в пункте С. На рисунке 27 представлена геометрическая модель ситуации.

На алгебраическом языке её можно описать так:

5х + 3 у = 500

или

5х + 3у - 500 = 0.

Такую математическую модель называют линейным уравнением с двумя переменными х, у.

Вообще

ах + by + с = 0,

где а, b, с — числа (коэффициенты), — это линейное уравнение с двумя переменными х и у.

Вернёмся к уравнению 5х + 3у = 500. Замечаем, что если х = 40, у = 100, то 5 • 40 + 3 • 100 = 500 — верное равенство. Значит, ответ на вопрос задачи может быть таким: скорость первого поезда 40 км/ч, скорость второго поезда 100 км/ч. Пару чисел х = 40, у = 100 называют решением уравнения 5х + 3у = 500. Говорят также, что пара значений (40; 100) удовлетворяет уравнению 5х + 3у = 500.

Найденное решение не единственное. В самом деле, возможен и такой вариант: х = 64, у = 60; действительно, 5 • 64 + 3 • 60 = 500 — верное равенство. И такой: х = 70, у = 50 (поскольку 5 • 70 + 3 • 50 = 500 — верное равенство).

А вот, скажем, пара чисел х = 80, у — 60 решением уравнения не является, поскольку при этих значениях верного равенства не получается: 5 • 80 + + 3 • 60 Ф 500.

Вообще решением уравнения ах + by + с = 0 называют всякую пару чисел (х; у), которая удовлетворяет этому уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ах + by + с = 0 в верное числовое равенство.

Замечание. Вернёмся ещё раз к уравнению 5х + 3у = 500, полученному в рассмотренной выше задаче. Среди бесконечного множества его решений имеются, например, и такие: х = 100, у = 0 (в самом деле, 5 • 100 + 3 • 0 = 500 — верное числовое равенство); х = 118, у = -30 (так как 5 • 118 + 3 • (-30) = 500 — верное числовое равенство). Однако, являясь решениями уравнения, эти пары не могут служить решениями данной задачи, ведь скорость поезда не может быть равной нулю (тогда он не едет, а стоит на месте); тем более скорость поезда не может быть отрицательной.

Пример 1. Изобразить решения линейного уравнения с двумя переменными х + у - 3 = 0 точками в координатной плоскости хОу.

Р е ш е н и е. Подберём несколько решений заданного уравнения, т. е. несколько пар чисел, которые удовлетворяют уравнению: (3; 0), (2; 1), (1; 2), (0; 3), (-2; 5).

Построим в координатной плоскости хОу точки А(3; 0), В(2; 1), С(1; 2), D(0; 3), Е(-2; 5) (рис. 28). Обратите внимание: все эти пять точек лежат на одной прямой l, проведём её.

Говорят, что прямая l является графиком уравнения х + у - 3 = 0, или что прямая l — геометрическая модель уравнения х + у - 3 = 0 (или х + у = 3).

Итак, если пара чисел (х; у) удовлетворяет уравнению х + у - 3 = 0, то точка М(х; у) принадлежит прямой l; если точка М(х; у) принадлежит прямой l, то пара (х; у) — решение уравнения х + у - 3 = 0. Например, точка Р(6; -3) принадлежит прямой l (см. рис. 28) и пара (6; -3) — решение уравнения х + у - 3 = 0.

Подведём итоги:

А как вообще выглядит график линейного уравнения ах + bу + с = 0? Рассмотрим конкретные случаи.

1) Пусть а = 0, b = 0, с = 0. Тогда уравнение принимает вид 0 • x + 0 • y + 0 = 0, т. е. 0 = 0 при любых значениях х, у. Это значит, что любая пара чисел (х; у) является решением уравнения, а график уравнения — вся координатная плоскость.

2) Пусть а = 0, b = 0, с А 0. Тогда уравнение принимает вид 0 • х + 0 • у + с = 0, т. е. с = 0. Это не выполняется ни при каких значениях х, у, т. е. уравнение не имеет решений.

3) Пусть а = 0, b ≠ 0. Тогда уравнение принимает вид 0 • х + bу + с = 0, т. е. Графиком служит прямая, параллельная оси х, об этом мы говорили в § 6.

4) Пусть а ≠ 0, b = 0. Тогда уравнение принимает вид ах + 0 • у + с = 0, т. е. Графиком служит прямая, параллельная оси у, об этом мы также говорили в § 6.

5) Пусть а ≠ 0, b ≠ 0. В этом случае графиком является прямая, не параллельная ни одной из осей координат (как это было в примере 1).

Продолжение >>>