Линейное уравнение с двумя переменными и его график (окончание)

Пример 4. Иванов и Петров посадили на своих садовых участках яблони, причём Петров посадил яблонь в 2,5 раза больше, чем Иванов. На следующий год они увеличили число яблонь (подсадили новые саженцы), причём у Иванова стало яблонь в 3 раза больше, чем было, а у Петрова в 2 раза больше, чем было. В итоге у них вместе стало 16 яблонь. Сколько яблонь посадили Иванов и Петров в первый год?

Р е ш е н и е.

Первый этап. Составление математической модели.

Пусть х — число яблонь, посаженных в первый год Ивановым, а у — число яблонь, посаженных в первый год Петровым. По условию задачи у = 2,5х. Здесь целесообразно умножить обе части уравнения на 2, получим 2у = 5х. Это уравнение перепишем в виде

5х - 2у = 0. (1)

На второй год Иванов увеличил число саженцев на своём участке в 3 раза и, значит, у него стало 3х яблонь. Петров увеличил число саженцев на своём участке в 2 раза, т. е. у него стало 2у яблонь. По условию у обоих в сумме стало 16 яблонь, т. е. 3х + 2у = = 16. Перепишем это уравнение в виде

3х + 2у - 16 = 0. (2)

Математическая модель задачи готова, она состоит из двух линейных уравнений с двумя переменными х и у — из уравнений (1) и (2). Обычно в таких случаях уравнения записывают одно под другим и используют специальный символ — фигурную скобку — и специальный термин — система уравнений:

Второй этап. Работа с составленной моделью.

Интересующая нас пара чисел (х; у) должна удовлетворять и уравнению (1), и уравнению (2), т. е. интересующая нас точка (х; у) должна лежать как на прямой (1), так и на прямой (2). Что делать? Ответ очевиден: надо построить прямую (1), затем прямую (2) и, наконец, найти точку пересечения этих прямых.

1) Строим график уравнения 5х - 2у = 0. Если х = 0, то у = 0; если х = 2, то у = 5. Проведём через точки (0; 0) и (2; 5) прямую l₁ (рис. 31).

2) Строим график уравнения 3х + 2у - 16 = 0. Если х = 0, то у = 8; если х = 2, то у = 5. Проведём через точки (0; 8) и (2; 5) прямую l₂ (рис. 31).

3) Прямые l₁ и l₂ пересекаются в точке (2; 5), т. е. х = 2, у = 5.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Спрашивается, сколько яблонь посадили в первый год Иванов и Петров, т. е. чему равны х и у. Ответ на этот вопрос уже получен: х = 2, у = 5.

О т в е т: в первый год Иванов посадил 2 яблони, а Петров — 5 яблонь.

Как видите, не зря мы с вами учились строить графики линейных уравнений с двумя переменными. Это позволило нам от одной математической модели (алгебраической модели (3)) перейти к другой математической модели — геометрической (две прямые на координатной плоскости на рисунке 31), что и дало возможность довести решение до конца.

А можно ли работать непосредственно с моделью (3), не переходя к геометрической модели? Можно, но об этом речь впереди, в главе 3. Там, используя новые знания, мы снова вернёмся к модели (3).

Вопросы для самопроверки

1. Запишите в общем виде линейное уравнение с двумя переменными х, у.

2. Запишите в общем виде линейное уравнение с двумя переменными u, υ.

3. Что называют решением уравнения ах + by + с = 0, где х, у — переменные, а а, b, с — коэффициенты?

4. Может ли линейное уравнение с двумя переменными не иметь решений? Если да, то приведите пример.

5. Может ли линейное уравнение с двумя переменными иметь конечное множество решений; бесконечное множество решений? Если да, то приведите пример.

6. Придумайте текстовую задачу, математическая модель которой представляет собой линейное уравнение с двумя переменными.

7. Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными, у которого хотя бы один коэффициент при переменной отличен от нуля? оба коэффициента при переменных равны нулю?

8. Как построить график линейного уравнения с двумя переменными, у которого оба коэффициента при переменных отличны от нуля? Сколько точек для этого достаточно взять?

9. Что представляет собой график линейного уравнения с двумя переменными, у которого один коэффициент при переменной отличен от нуля, а другой равен нулю? Рассмотрите два случая.

10. В каком случае из линейного уравнения ах + by + с = 0 можно выразить переменную у через переменную х, а в каком — нельзя? Что получится, если переменную у можно выразить через переменную х?

<<< К началу