Линейная функция и её график (окончание)

Пример 4. Найти y_наи6 и у_наим для линейной функции у = -1,5x + 3,5:

а) на отрезке [1; 5];

б) на интервале (1; 5);

в) на полуинтервале [1; 5);

г) на луче [0; +∞);

д) на луче (-∞; 3].

Р е ш е н и е. Составим таблицу для линейной функции у = -1,5х + 3,5:

Построим на координатной плоскости хОу точки (1; 2) и (5; -4) и проведём через них прямую (рис. 39—43). Выделим на построенной прямой часть, соответствующую значениям х из отрезка [1; 5] (рис. 39), из интервала (1; 5) (рис. 40), из полуинтервала [1; 5) (рис. 41), из луча [0; +∞) (рис. 42), из луча (-∞; 3] (рис. 43).

а) С помощью рисунка 39 нетрудно сделать вывод, что y_наи6 = 2 (этого значения линейная функция достигает при х = 1), а у_наим = -4 (этого значения линейная функция достигает при х = 5).

б) В отличие от предыдущего случая, оба конца отрезка, в которых как раз и достигались наибольшее и наименьшее значения, из рассмотрения исключены (рис. 40). Среди остальных точек графика нет ни точки с наименьшей ординатой, ни точки с наибольшей ординатой. Значит, ни наибольшего, ни наименьшего значений на заданном интервале у данной линейной функции нет.

в) С помощью рисунка 41 заключаем, что y_наи6 = 2 (как и в первом случае), а наименьшего значения у линейной функции нет (как и во втором случае).

г) y_наи6 = 3.5 (этого значения линейная функция достигает при х = 0), а у_наим не существует (рис. 42).

д) у_наим = -1 (этого значения линейная функция достигает при x = 3), а y_наи6 не существует (рис. 43).

Пример 5. Построить график линейной функции у = 2x - 6. С помощью графика ответить на следующие вопросы:

а) при каком значении х будет у = 0;

б) при каких значениях х будет у > 0;

в) при каких значениях х будет у < 0?

Р е ш е н и е. Составим таблицу для линейной функции у = 2x - 6:

Через точки (0; -6) и (3; 0) проведём прямую — график линейной функции у = 2х - 6 (рис. 44).

а) у = 0 при х = 3. График пересекает ось х в точке х = 3, это и есть точка с ординатой у = 0.

б) у > 0 при х > 3. В самом деле, если х > 3, то соответствующая часть прямой расположена выше оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой положительны.

в) у ≤ 0 при х ≤ 3. В самом деле, если х ≤ 3, то соответствующая часть прямой расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны.

Обратите внимание, что в этом примере мы с помощью графика решили:

а) уравнение 2х - 6 = 0 (получили х = 3);

б) неравенство 2х - 6 > 0 (получили х > 3);

в) неравенство 2х - 6 < 0 (получили х < 3).

Замечание. В русском языке часто один и тот же объект называют по-разному, например: «дом», «здание», «сооружение», «коттедж», «особняк», «барак», «хибара», «избушка». В математическом языке ситуация примерно та же. Скажем, равенство с двумя переменными у = kх + m, где k, m — конкретные числа, можно назвать линейной функцией, можно назвать линейным уравнением с двумя переменными х и у (или с двумя неизвестными х и у), можно назвать формулой, можно назвать соотношением, связывающим х и у, можно, наконец, назвать зависимостью между х и у. Это неважно, главное — понимать, что во всех случаях речь идёт о математической модели у = kx + m.

Рассмотрим график линейной функции, изображённый на рисунке 45, а. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика всё время увеличиваются, мы как бы «поднимаемся в горку». В таких случаях математики употребляют термин возрастание и говорят так: если k > 0, то линейная функция у = kx + m возрастает.

Рассмотрим график линейной функции, изображённый на рисунке 45, б. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика всё время уменьшаются, мы как бы «спускаемся с горки». В таких случаях математики употребляют термин убывание и говорят так: если k < 0, то линейная функция у = kx + m убывает.

Вопросы для самопроверки

1. Что такое линейная функция?

2. Что является графиком линейной функции?

3. Сколько точек достаточно взять для построения графика линейной функции?

4. Опишите процесс построения графика линейной функции у = 2х + 3, где х ∈ [0; 2]. Что изменится, если х ∈ (0; 2)?

5. Дана линейная функция у = kx + m, х ∈ x, где x — некоторый числовой промежуток. Что такое у_наим, y_наи6?

6. Дано: у = 2х + 3, х ? [0; 2]. Найдите у_наим, y_наи6. Что изменится, если х ∈ (0; 2)? если x ∈ (0; 2]?

7. Дано: у = 2х + 3, х е [0; +∞). Найдите, если возможно, у_наим, y_наи6. Что изменится, если х ∈ (0; +∞)? если х ∈ (-∞; 0]? если х ∈ (-∞; 0)?

8. Как с помощью графика линейной функции у = kx + m, где k ≠ 0, решить: а) уравнение kx + m = 0; б) неравенство kx + m > 0; в) неравенство kx + m ≤ 0?

9. В каком случае линейная функция возрастает, а в каком — убывает? Как об этом можно судить по графику линейной функции?

<<< К началу