Неполные квадратные уравнения

Вам уже приходилось решать линейные уравнения. Теперь вы сделаете новый шаг в изучении алгебры — научитесь решать квадратные уравнения. Вы познакомитесь с формулой корней квадратного уравнения и сможете применять её не только на уроках алгебры, но и на уроках геометрии, физики, информатики. Ваше внимание, безусловно, привлечёт зависимость между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Формулы, выражающие эту зависимость, вывел французский математик Франсуа Виет в конце XVI в. Вы научитесь решать дробные рациональные уравнения, сводящиеся к линейным или квадратным уравнениям. Впервые вы встретитесь с понятием постороннего корня, убедитесь в необходимости исключать посторонние корни, если они появились в ходе решения дробного рационального уравнения. Расширится круг текстовых задач, которые вы сможете решать с помощью уравнений.

Каждое из уравнений

имеет вид

ах² + bх + с = 0,

где х — переменная, а, b и с — числа.

В первом уравнении а = -1, b = 6 и с = 1,4, во втором а = 8, b = -7 и с = 0, в третьем а = 1, b = 0 и Такие уравнения называют квадратными уравнениями.

Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах² +bх + с = 0, где х — переменная, а, b и с — некоторые числа, причём а ≠ 0.

Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число с — свободным членом.

В каждом из уравнений вида ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной х — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х² равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения

х² - 11х + 30 = 0, х² - 6х = 0, х² - 8 = 0.

Если в квадратном уравнении ах² + bх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2х² + 7 = 0, 3х² - 10х = 0 и -4х² = 0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них b = 0, во втором с = 0, в третьем b = 0 и с = 0. Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1) ах² + с = 0, где с ≠ 0;
2) ах² + bх = 0, где b ≠ 0;
3) ах² = 0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Пример 1. Решим уравнение -3х² + 15 = 0.

Перенесём свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на -3:

-3х² = -15,
x² = 5.

Отсюда

x = √5 или x = -√5.

Ответ: x₁ = √5, x₂ = -√5

Продолжение >>>