Главная >> Алгебра. 8 класс. Макарычев

§ 8. Квадратное уравнение и его корни

Теорема Виета (продолжение)

ФРАНСУА ВИЕТ

ФРАНСУА ВИЕТ (1540—1603) — французский математик, ввёл систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.

Пример 1. Найдём сумму и произведение корней уравнения

    3х2 - 5х + 2 = 0.

Дискриминант D = 25 - 4 • 3 • 2 = 1 — положительное число. Значит, уравнение имеет корни. Эти же корни имеет приведённое квадратное уравнение Значит, сумма корней уравнения 3х2 - 5х + 2 = 0 равна а произведение равно

По теореме, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.

Пример 2. Решим уравнение х2 + 3х - 40 = 0 и выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета.

Найдём дискриминант:

    D = 32 + 4 • 40 = 169.

По формуле корней квадратного уравнения получаем

Отсюда

    х1 = -8, х2 = 5.

Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении х2 + 2х - 40 = 0 коэффициент р равен 3, а свободный член q равен -40. Сумма найденных чисел -8 и 5 равна -3, а их произведение равно -40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения х2 + 3х - 40 = 0.

Пример 3. Найдём подбором корни уравнения

    х2 - х - 12 = 0.

Дискриминант D = 1 - 4 • 1 • (-12) — положительное число. Пусть x1 и х2 — корни уравнения. Тогда

    x1 + х2 = 1 и х1 • х2 = —12.

Если х1 и х2 — целые числа, то они являются делителями числа -12. Учитывая также, что сумма этих чисел равна 1, нетрудно догадаться, что x1 = -3 и х2 = 4.

Упражнения

580. Найдите сумму и произведение корней уравнения:

    а) х2 - 37х + 27 = 0;
    б) у2 + 41у - 371 = 0;
    в) х2 - 210х = 0;
    г) у2 - 19 = 0;

    д) 2х2 - 9х - 10 = 0;
    е) 5х2 + 12х + 7 = 0;
    ж) -z2 + 2 = 0;
    з) 3х2 - 10 = 0.

581. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

    а) х2 - 2х - 9 = 0;
    б) 3х2 - 4х - 4 = 0;

    в) 2х2 + 7х - 6 = 0;
    г) 2х2 + 9х + 8 = 0.

582. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

    а) х2 - 15х - 16 = 0;
    б) х2 - 6х - 11 = 0;
    в) 12х2 - 4х - 1 = 0;

    г) х2 - 6 = 0;
    д) 5х2 - 18х = 0;
    е) 2х2 -41 = 0.

583. Найдите подбором корни уравнения:

    а) х2 - 9х + 20 = 0;
    б) х2 + 11х - 12 = 0;

    в) х2 + х - 56 = 0;
    г) х2 - 19х + 88 = 0.

584. Найдите подбором корни уравнения:

    а) х2 + 16х + 63 = 0; б) х2 + 2х - 48 = 0.

585. В уравнении х2 + рх - 35 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент р.

586. Один из корней уравнения х2 - 13х + q = 0 равен 12,5. Найдите другой корень и коэффициент q.

587. Один из корней уравнения 5х2 + bх + 24 = 0 равен 8. Найдите другой корень и коэффициент b.

588. Один из корней уравнения 10х2 - 33х + с = 0 равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с.

589. Разность корней квадратного уравнения х2 - 12х + q = 0 равна 2. Найдите q.

590. Разность корней квадратного уравнения х2 + х + с = 0 равна 6. Найдите с.

<<< К началу          Ответы >>>

 

 

???????@Mail.ru