Числовые неравенства (окончание)

731. Докажите неравенство:

а) а(а + 6) ≥ ab;
б) m² - mn + n² ≥ mn;
в) 10а² - 5а + 1 ≥ а² + а;

г) 2bс ≤ b² + с²;
д) а(а - b) ≥ b(а - b);
е) а² - а ≤ 50а² - 15а + 1.

732. (Для работы в парах.) Увеличится или уменьшится дробь , где а и b — натуральные числа, если к её числителю и знаменателю прибавить по 1?

1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь . (Одному учащемуся рекомендуем взять дроби, у которых числитель меньше знаменателя, а другому — дроби, у которых числитель больше знаменателя.)

2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотезу для каждого случая.

3) Проведите доказательство: один — для случая а < b, а другой — для случая а > b.

4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений.

733. Докажите, что при а > 0 верно неравенство

734. Докажите, что сумма любого положительного числа и числа, ему обратного, не меньше чем 2.

735. Докажите неравенство:

736. Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство:

а) а² - 6а + 14 > 0; б) b² + 70 > 16b.

737. Выберите из данных неравенств такое, которое не является верным при любом значении а.

1. а² > 2а-3
2. а² + 6 > 4а

3. 4а - 4 < а²
4. 8а - 70 < а²

738. (Для работы в парах.) Докажите, что если а и b — положительные числа и а² > b², то а > b. Пользуясь этим свойством, сравните числа:

а) √б + √3 и √7 + √2;
б) √3 + 2 и √б + 1;

в) √5 - 2 и √б - √3;
г) √10- √7 и √11 - √6.

1) Проведите доказательство приведённого утверждения.
2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено сравнение выражений. Исправьте ошибки, если они допущены.

739. Докажите, что при а ≥ 0 и b ≥ 0 верно неравенство

740. Что больше: а³ + b³ или аb(а + b), если а и b — неравные положительные числа?

741. К каждому из чисел 0, 1, 2, 3 прибавили одно и то же число k. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности чисел с произведением средних её членов.

742. Одноклассники Коля и Миша вышли одновременно из посёлка на станцию. Коля шёл со скоростью 5 км/ч, а Миша первую половину пути шёл со скоростью, на 0,5 км/ч большей, чем Коля, а вторую половину пути — со скоростью, на 0,5 км/ч меньшей, чем Коля. Кто из них первым пришёл на станцию?

Упражнения для повторения

743.Найдите значение дроби

744. Сократите дробь:

745. Решите уравнение:

Ответы

739. Указание. Сравните квадраты левой и правой частей неравенства.

742. Коля.

743.

744. б) 1.

745. а) 1; 5; б) 0,3; 2.

<<< К началу