Решение неравенств с одной переменной

Неравенство 5x - 11 > 3 при одних значениях переменной х обращается в верное числовое неравенство, а при других нет. Например, если вместо х подставить число 4, то получится верное неравенство 5 • 4 - 11 > 3, а если подставить число 2, то получится неравенство 5 • 2 - 11 > 3, которое не является верным. Говорят, что число 4 является решением неравенства 5x - 11 > 3 или удовлетворяет этому неравенству. Нетрудно проверить, что решениями неравенства являются, например, числа 100, 180, 1000. Числа 2; 0,5; -5 не являются решениями этого неравенства.

Определение. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.

При решении неравенств используются следующие свойства:

1) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.
2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;
если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Например, неравенство

18 + 6x > 0 (1)

равносильно неравенству

бx > -18, (2)

а неравенство 6x > -18 равносильно неравенству x > -3.

Указанные свойства неравенств можно доказать, опираясь на свойства числовых неравенств.

Докажем, например, что равносильны неравенства (1) и (2). Пусть некоторое число а является решением неравенства (1), т. е. обращает его в верное числовое неравенство 18 + 6а > 0. Прибавив к обеим частям этого неравенства число -18, получим верное неравенство 18 + 6а - 18 > 0 - 18, т. е. 6а > -18, а это означает, что число а является решением неравенства (2).

Мы показали, что каждое решение неравенства (1) является решением неравенства (2). Аналогично доказывается, что каждое решение неравенства (2) служит решением неравенства (1). Таким образом, неравенства (1) и (2) имеют одни и те же решения, т. е. являются равносильными.

Подобными рассуждениями устанавливается справедливость обоих свойств неравенств в общем виде.

Приведём примеры решения неравенств.

Пример 1. Решим неравенство 16x > 13x + 45.

Перенесём слагаемое 13л: с противоположным знаком в левую часть неравенства:

16x — 13x > 45.

Приведём подобные члены:

3x > 45.

Разделим обе части неравенства на 3:

х > 15.

Множество решений неравенства состоит из всех чисел, больших 15. Это множество представляет собой открытый числовой луч (15; +∞), изображённый на рисунке 42.

Ответ можно записать в виде числового промежутка (15; +∞) или в виде неравенства х > 15, задающего этот промежуток.

Пример 2. Решим неравенство 15х - 23 (х + 1) > 2х + 11.

Раскроем скобки в левой части неравенства:

15x - 23x - 23 > 2х + 11.

Перенесём с противоположными знаками слагаемое 2х из правой части неравенства в левую, а слагаемое -23 из левой части в правую и приведём подобные члены:

15x - 23x - 2х > 11 + 23,
-10x > 34.

Разделим обе части на -10, при этом изменим знак неравенства на противоположный:

x < -3,4.

Множество решений данного неравенства представляет собой открытый числовой луч (-∞; -3,4), изображённый на рисунке 43.

Ответ: (-∞;-3,4).

Продолжение >>>