Свойства степени с целым показателем

Известные вам свойства степени с натуральным показателем справедливы и для стеиеыи с любым целым показателем (пужно только предполагать, что основание степени не равно нулю).

Для каждого а ≠ 0 и любых целых m и n

для каждых а ≠ 0, b ≠ 0 и любого целого n

Эти свойства можно доказать, опираясь на определение степени с целым отрицательным показателем и свойства степени с натуральным показателем.

Докажем, например, справедливость свойства (1) (основного свойства степени) для случая, когда показатели степеней — целые отрицательные числа. Иначе говоря, докажем, что если k и р — натуральные числа и а ≠ 0, то а^-k • а^-р = а^{-k - р}.

Имеем

Заменяя степени а^-k и а^-р дробями и дробь степенью а^{-(k + р)}, мы воспользовались определением степени с целым отрицательным показателем. Заменяя произведение а^kа^р степенью а^{k + р}, мы использовали основное свойство степени с натуральным показателем.

Из свойств степени вытекает, что действия над степенями с целыми показателями выполняются по тем же правилам, что и действия над степенями с натуральными показателями.

Пример 1. Преобразуем произведение а^-17 • а²¹.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают. Имеем

a-17 • a²¹ = a^{-17 + 21} = a⁴.

Пример 2. Преобразуем частное b² : b⁵.

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Имеем

b² : b⁵ = b^{2 - 5} = b^-3.

Для степеней с натуральными и нулевым показателями мы могли применять правило деления степеней с одинаковыми основаниями в том случае, когда показатель степени делимого был не меньше показателя степени делителя. Теперь, после введения степеней с целыми показателями, это ограничение снимается: показатели степеней делимого и делителя могут быть любыми целыми числами.

Пример 3. Упростим выражение (2а³b^-5)^-2.

Сначала применим свойство (4), а затем свойство (3). Имеем

Продолжение >>>