Стандартный вид числа

В науке и технике встречаются как очень большие, так и очень малые положительные числа. Например, большим числом выражается объём Земли — 1 083 000 000 000 км³, а малым — диаметр молекулы воды, который равен 0,0000000003 м.

В обычном десятичном виде большие и малые числа неудобно читать и записывать, неудобно выполнять над ними какие-либо действия. В таком случае полезным оказывается представление числа в виде а • 10ⁿ, где n — целое число. Например:

125 000 = 0,125 • 10⁶; 0,0031 = 3,1 • 10^-3;
0,237 = 23,7 10^-2.

Представим каждое из чисел 1 083 000 000 000 и 0,0000000003 в виде произведения числа, заключённого между единицей и десятью, и соответствующей степени числа 10:

1 083 000 000 000 = 1,083 • 10¹²;
0,0000000003= 3 • 10^-10.

Говорят, что мы записали числа 1 083 000 000 000 и 0,0000000003 в стандартном виде. В таком виде можно представить любое положительное число.

Стандартным видом числа а называют его запись в виде а • 10n, где 1 ≤ а < 10 и n — целое число. Число n называется порядком числа α.

Например, порядок числа, выражающего объём Земли в кубических километрах, равен 12, а порядок числа, выражающего диаметр молекулы воды в метрах, равен -10.

Порядок числа даёт представление о том, насколько велико или мало это число. Так, если порядок числа α равен 3, то это означает, что 1000 ≤ α < 10 000. Если порядок числа α равен -2, то 0,01 ≤ α < 0,1. Большой положительный порядок показывает, что число очень велико. Большой по модулю отрицательный порядок показывает, что число очень мало.

Пример 1. Представим в стандартном виде число α = 4 350 000.

В числе а поставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна цифра. В результате получим 4,35. Отделив запятой 6 цифр справа, мы уменьшили число α в 10⁶ раз. Поэтому а больше числа 4,35 в 10⁶ раз. Отсюда

α = 4,35 • 10⁶.

Пример 2. Представим в стандартном виде число α = 0,000508.

В числе α переставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна отличная от нуля цифра. В результате получится 5,08. Переставив запятую на четыре знака вправо, мы увеличили число α в 10⁴ раз. Поэтому число α меньше числа 5,08 в 10⁴ раз. Отсюда

Упражнения

1013. Назовите порядок числа, представленного в стандартном виде:

а) 1,2 • 10⁹; в) 2,7 • 10^-3; д) 4,42 • 10⁵;
б) 3,6 • 10³; г) 6,3 • 10^-1; е) 9,28 • 10^-4.

1014. Запишите в стандартном виде число:

а) 52 000 000;
б) 2 180 000;
в) 675 000 000;

г) 40,44;
д) 0,00281;
е) 0,0000035.

1015. Запишите в стандартном виде:

а) 45 • 10³; б) 117 • 10⁵; в) 0,74 • 10⁶; г) 0,06 • 10⁵.

1016. Представьте число в стандартном виде:

а) 1024 000;
б) 6 000 000;
в) 21,56;
г) 0,85;

д) 0,000004;
е) 0,000282;
ж) 508 • 10^-7;
з) 0,042 • 10².

1017. Масса Земли приближённо равна 6 000 000 000 000 000 000 000 т, а масса атома водорода 0,0000000000000000000017 г. Запишите в стандартном виде массу Земли и массу атома водорода.

1018. Выразите:

а) 3,8 • 10³ т в граммах;
б) 1,7 • 10^-4 км в сантиметрах;

в) 8,62 • 10^-1 кг в тоннах;
г) 5,24 • 10⁵ см в метрах.

Окончание >>>