Главная >> Алгебра. 8 класс. Макарычев

Для тех, кто хочет знать больше

Функции у = х^-1 и у = х^-2 и их свойства

Функции, которые можно задать формулой вида

у = хⁿ,

где х — независимая переменная и n — целое число, называют степенными функциями с целым показателем.

Со степенными функциями у = х² и у = х³ вы познакомились в курсе алгебры 7 класса. Вам знакома также степенная функция у = х, которая является частным случаем прямой пропорциональности у = kx (при k = 1).

Рассмотрим теперь функции у = х^-1 и у = х^-2, выясним свойства этих функций и особенности их графиков. Отметим сразу, что областью определения каждой из этих функций является множество действительных чисел, кроме нуля.

Перечислим свойства функции у = х^-1 и особенности её графика.

1. Если х > 0, то у > 0; если х < 0, то у < 0.

Это следует из формулы у = х^-1: значения х и у одного знака.

Так как

то графиком функции является гипербола, расположенная в первой и третьей четвертях координатной плоскости (рис. 56).

2. Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.

Действительно, если х₀ и -х₀ — значения аргумента, то соответствующие им значения функции и (-x₀)^-1 также являются противоположными числами, так как

Если точка М (х₀; у₀) принадлежит графику функции, то точка М'(-х₀; -у₀) также принадлежит графику этой функции. Значит, каждой точке М (х0; у0) графика соответствует точка М'(-х₀; -у₀) того же графика. Точки, имеющие противоположные абсциссы и противоположные ординаты, симметричны относительно начала координат.

Следовательно, график функции у = х^-1 симметричен относительно начала координат.

3. Если значения аргумента при х > 0 неограниченно возрастают (х → +∞), то соответствующие им значения функции убывают, т. е. стремятся к нулю (у → 0).

Если значения аргумента при х > 0 убывают, т. е. стремятся к нулю (х → 0), то соответствующие значения функции неограниченно возрастают (у → +∞).

Если х < 0 и х → -∞, то у → 0.
Если х < 0 и х → 0, то у → -∞.

Таким образом, точки графика, удаляясь от оси у вправо или влево, всё ближе приближаются к оси х, а удаляясь от оси х вверх или вниз, всё ближе приближаются к оси у.

Отметим ещё одно свойство функции у = х^-1.

Продолжение >>>