Решение неравенств второй степени с одной переменной

Неравенства вида

ах² + bх + с > 0 и ах² + bх + с < 0,

где х — переменная, а, b и с — некоторые числа и а ≠ 0, называют неравенствами второй степени с одной переменной.

Решение неравенства

ах² + bх + с > 0 или ах² + bх + с < 0

можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых функция у = ах² + bх + с принимает положительные или отрицательные значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции у = ах² + bх + с в координатной плоскости: куда направлены ветви параболы — вверх или вниз, пересекает ли парабола ось х и если пересекает, то в каких точках. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решим неравенство 5х² + 9х - 2 < 0.

Рассмотрим функцию у = 5х2 + 9х - 2. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Выясним, как расположена эта парабола относительно оси х. Для этого решим уравнение

5х² + 9х - 2 = 0.

Это уравнение имеет два корня:

Значит, парабола пересекает ось х в двух точках, абсциссы которых равны -2 и

Покажем схематически, как расположена парабола в координатной плоскости (рис. 51). Из рисунка видно, что функция принимает отрицательные значения, когда Следовательно, множеством решений неравенства 5х² + 9x - 2 < 0 является числовой промежуток

Заметим, что при рассмотренном способе решения неравенства нас не интересовала вершина параболы. Важно лишь было знать, куда направлены ветви параболы — вверх или вниз и каковы абсциссы точек ее пересечения с осью х.

Пример 2. Решим неравенство 3х² - 11x - 4 > 0.

График функции у = 3х² - 11х - 4 — парабола, ветви которой направлены вверх.

Для того чтобы выяснить, пересекает ли парабола ось х и в каких точках, решим уравнение 3х² - 11x - 4 = 0. Это уравнение имеет корни

Покажем схематически, как расположена парабола в координатной плоскости (рис. 52). Из рисунка видно, что данное неравенство верно, если х принадлежит промежутку или промежутку (4; +∞), т. е. множеством решений неравенства является объединение промежутков и (4; +∞).

Ответ можно записать так:

Продолжение >>>