Приемы решения целых уравнений (продолжение)

Пример 2. Решим уравнение

2007 (х⁴ - 6х² + 9) + 2006(х² - 3) - 1 = 0.

Используем подстановку у = х² - 3. Получим квадратное уравнение

2007y² + 2006y -1 = 0.

Применение формулы корней квадратного уравнения приводит здесь к громоздким вычислениям. Поступим иначе. Попытаемся найти целый корень уравнения, если он существует. По теореме 2 он является делителем числа -1, т. е. равен 1 или -1. Подставляя в уравнение числа 1 и -1, убеждаемся, что корнем уравнения является число -1. Второй корень квадратного уравнения найдем, используя теорему Виета. Так как и

Из равенств

найдем корни исходного уравнения:

Метод введения новой переменной находит применение при решении возвратных уравнений.

Возвратным уравнением называется уравнение вида

а₀хⁿ + а₁х^{n - 1} + ... + а_{n - 1}х + а_n = 0,

в котором коэффициенты членов уравнения, одинаково отстоящих от начала и конца, равны, т. е. а_k = а_{n - k}, где k = 0, 1, 2, ..., n.

Рассмотрим пример решения возвратного уравнения четвертой степени.

Пример 3. Решим уравнение

х₄ - 5х₃ + 6х₂ - 5х + 1 = 0.

Воспользуемся тем, что коэффициенты членов многочлена, записанного в левой части уравнения, одинаково удаленных от начала и конца, равны между собой.

Разделив обе части уравнения на х₂, получим равносильное ему уравнение

Сгруппируем первый член с последним и второй с четвертым, причем во второй сумме вынесем множитель -5 за скобки. Получим

Введем новую переменную: Тогда

Отсюда

Выполнив подстановку, получим

(у² - 2) - 5у + 6 = 0,
у² - 5у + 4 = 0.

Полученное квадратное уравнение имеет два корня: у₁ = 1 и y₂ = 4.

Значит,

Решая эти уравнения, найдем, что первое из них не имеет корней, а второе имеет два корня: x₁ = 2- √3 и х₂ = 2 + √3.

Значит, исходное возвратное уравнение имеет два корня: 2 - √3 и 2 + √3.

Иногда удается решить целое уравнение, воспользовавшись свойством возрастания или убывания функций.

<<< К началу Окончание >>>