Главная >> Алгебра 9 класс. Макарычев

Для тех, кто хочет знать больше

Приемы решения целых уравнений (окончание)

Пример 4. Решим уравнение х5 + х - 2 = 0

Если данное уравнение имеет целый корень, то в силу теоремы 2 он является делителем числа -2. Проверка убеждает нас, что корнем уравнения является число 1. Покажем, что других корней это уравнение не имеет. Для этого представим его в виде х5 = -х + 2. Функция у = х5 является возрастающей, а функция у = -х + 2 — убывающей. Значит, уравнение х5 + х - 2 = 0 имеет единственный корень. Это хорошо видно на рисунке 59, на котором схематически изображены графики функций у = х5 и у = -х + 2.

Итак, исходное уравнение имеет единственный корень — число 1.

Упражнения

341. Из данных чисел

    1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 7, -7

выберите те, которые являются корнями уравнения

    х4 - х3 - 51х2 + 49х + 98 = 0.

Какие из них можно исключить сразу, не подставляя их в уравнение?

342. Решите уравнение:

    а) х3 - 4х2 + 3х + 2 = 0; б) х4 + 2х3 - 7х2 - 8х + 12 = 0.

343. При каких значениях р равны значения двучленов:

    а) р3 - р2 и 8р - 12; б) р3 - 3р и р2 + 1?

344. Найдите координаты точек пересечения графика функции у — х3 + 4х2 + х - 6 с осями координат.

345. Известно, что график функции у = х4 - ах3 — 10х2 + 80х - 96 пересекает ось х в точке (4; 0). Найдите а и координаты других точек пересечения графика функции с осью х.

346. Решите уравнение:

    а) 718х4 - 717х2 - 1 = 0; б) 206х4 - 205х2 -1 = 0.

347. Решите уравнение, используя введение новой переменной:

    а) (х2 + 8х)2 - 4(х + 4)2 = 256;
    б) 2(х2 - 6х)2 - 120(х - 3)2 = 8.

348. Решите уравнение:

    а) х3 + 11х - 108 = 0; б) х5 + 6х + 44 = 0.

349. Из данных уравнений выберите то, которое имеет один и только один целый корень.

    1. х3 - х + 3 = 0
    3. х4 + 5х2 + 4 = 0

    2. х4 + х2 - 20 = 0
    4. х3 - 5х + 4 = 0

350. Решите возвратное уравнение

    10х4 - 77х3 + 150х2 - 77х + 10 = 0.

351. Докажите, что если число т является корнем уравнения ах4 + bх3 + сх2 + bх + а = 0, где а, b, с — некоторые числа, причем а ≠ 0, то обратное ему число также является корнем этого уравнения.

Ответы

    342. а) 2; 1 - √2; 1 + √2; б) -3; -2; 1; 2.

    343. а) -3; 2; б) -1; 1 - √2; 1 + √2.

    344. (-3; 0), (-2; 0), (1; 0) и (0; -6).

    345. а = 5; (-4; 0), (2; 0), (3; 0).

    346. а) -1; 1; б) -1; 1.

    347. а) -10; -4; 2. Указание. Используйте подстановку у = (х + 4)2; б) 2; 4; 3 - √77; 3 + √77.

    348. а) 4; б) -2.

    350. 2; 5.

<<< К началу

 

 

???????@Mail.ru