Приемы решения целых уравнений

Мы уже отмечали, что формулы корней целых уравнений третьей и четвертой степеней с одной переменной громоздки и неудобны для практического использования, а для уравнений пятой и более высоких степеней формул корней вообще не существует. Такие уравнения удается иногда решить, используя специальные приемы.

ТЕОРЕМА 1
о корне многочлена

Если число а является корнем многочлена

Р(х) = а₀хⁿ + a₁x^n-1 + ... + а_n-1х + а_n, где а₀ ≠ 0,

то этот многочлен можно представить в виде произведения (х - а) Р₁(х), где Р₁(х) — многочлен n - 1-й степени.

ТЕОРЕМА 2
о целых корнях целого уравнения

Если уравнение

а₀хⁿ + а₁х^{n - 1} + ... + а_{n - 1}х + а_n = 0,

в котором все коэффициенты — целые числа, причем свободный член отличен от нуля, имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.

Пусть х₀ — целый корень данного уравнения. Тогда верно равенство

Отсюда

Число, записанное в этом равенстве в скобках, является целым, так как х0 и все коэффициенты -а₀, -а₁, ..., -а_{n - 1} — целые числа. Значит, при делении а_n на х₀ получается целое число, т. е. х₀ — делитель свободного члена.

Приведем примеры решения целых уравнений с использованием указанных теорем.

Один из приемов решения уравнения вида Р(х) = 0, где Р(х) — многочлен третьей или более высокой степени, состоит, как известно, в разложении многочлена Р(х) на множители.

Пример 1. Решим уравнение

х³ - 8х² + 13х - 2 = 0.

Если это уравнение имеет целый корень, то в силу теоремы 2 он является делителем числа -2, т. е. равен одному из чисел 1, -1, 2, -2. Проверка убеждает нас, что корнем уравнения является число 2. Значит, в силу теоремы 1 многочлен х³ - 8х² + 13х - 2 можно представить в виде (х - 2) F(x), где F(х) — многочлен второй степени.

Для того чтобы найти многочлен Р(х), разделим многочлен х³ - 8х² + 13х - 2 на двучлен х - 2. Деление многочленов выполним «уголком»:

Значит, исходное уравнение можно представить в виде

(х - 2) (х² — 6х + 1) = 0.

Отсюда

х - 2 = 0 или х² - 6х + 1 = 0.

Первое уравнение имеет единственный корень — число 2. Второе уравнение имеет два корня: 3 - √8 и 3 + √8.

Исходное уравнение имеет три корня: 2, 3 - √8, 3 + √8.

Еще один прием, который используется при решении целых уравнений третьей и более высоких степеней, состоит, как вы знаете, во введении новой переменной.

Продолжение >>>