Уравнение с двумя переменными и его график

Каждое из уравнений

2х + 3у = 15, х² = 4 - у², ху - 6 = 0, 5x³ + у² = 9

является уравнением с двумя переменными.

Если в уравнение 5х³ + у² = 9 подставить вместо x число 1, а вместо у число 2, то получится верное равенство 5 • 1³ + 2² = 9. Пара чисел (1; 2), в которой на первом месте указано значение переменной л:, а на втором — значение переменной у, является решением уравнения 5х³ + у² = 9.

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Уравнение с двумя переменными имеет, как правило, бесконечное множество решений.

Два уравнения, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными уравнениями.

Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с двумя переменными представляет собой многочлен стандартного вида, а правая — число 0, то степень уравнения считают равной степени этого многочлена. Для того чтобы выяснить, какова степень уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого — многочлен стандартного вида, а правая — нуль. Например, уравнение (х³ + у)² = х⁶ — 1 равносильно уравнению 2х³у + у² + 1 = 0 и, значит, является уравнением четвертой степени.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.

Вы знаете, что графиком линейного уравнения ах + by = с, в котором а ≠ 0 или b ≠ 0, является прямая. Вам известны также графики некоторых уравнений второй степени. Например, графиком уравнения у = х² является парабола, графиком уравнения ху = 12 — гипербола.

Покажем, что графиком уравнения х² + у² = r², где r — произвольное положительное число, является окружность радиуса г с центром в начале координат (рис. 60).

Пусть точка В(х; у) — произвольная точка этой окружности, не принадлежащая ни одной из координатных осей. Тогда из прямоугольного треугольника АОВ имеем АО² + АВ² = ВО². Так как АО = |х|, АВ - |y| и ВО = r, то |х|² + |y|² = r², или, опустив знак модуля, получим

х² + у² = r². (1)

Легко убедиться, что если точка окружности находится на одной из координатных осей, то ее координаты также удовлетворяют уравнению (1). Например, подставив в уравнение (1) координаты точки С(0; -г), получим верное равенство 0² + (-r)² = r².

Можно доказать, что если точка не принадлежит окружности, как, например, точка D или точка Е, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (1).

ПАФНУТИЙ ЛЬВОВИЧ ЧЕБЫШЕВ

Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894) — русский математик и механик, основатель знаменитой петербургской математической школы. Основные его труды относятся к теории чисел, математическому анализу, теории вероятностей и другим вопросам математики и смежных областей знаний.

Продолжение >>>