Свойства функций (продолжение)

Пример 1. Рассмотрим свойства функции у = kx + b, где k ≠ 0 (рис. 14).

1. Функция обращается в нуль при

Действительно, решив уравнение kx + b = 0, найдем, что у = 0 при

2. При k > 0 функция принимает отрицательные значения в промежутке и положительные значения в промежутке

Решив неравенства kx + b < 0 и kx + b > 0, найдем, что если k > 0, то у < 0 при и у > 0 при

При k < 0 функция принимает отрицательные значения в промежутке и положительные значения в промежутке

Убедиться в этом можно, решив неравенства kx + b < 0 и kx + b > 0 при условии, что k < 0.

3. При k > 0 функция у = kx + b является возрастающей, а при k < 0 — убывающей.

Докажем это. Пусть х₁ и х₂ — произвольные значения аргумента, причем х₂ > х₁. Обозначим через у₁ и у₂ соответствующие им значения функции:

у₁ = kx₁ + b и у₂ = kx₂ + b.

Рассмотрим разность у₂ - у₁:

у₂ - у₁ = (kx₂ + b) - (kx₁ + b) = kx₂ - kx₁ = k(x₂ - x₁).

Множитель х₂ - x₁ положителен, так как х₂ > x₁ Поэтому знак произведения k(x₂ - x₁) определяется знаком коэффициента k.

Если k > 0, то k(x₂ - x₁) > 0 и у₂ > y₁. Значит, при k > 0 функция у = kx + b является возрастающей.

Если k < 0, то k(x₂ - x₁) < 0 и у₂ < y₁. Значит, при k < 0 функция у = kx + b является убывающей.

Пример 2. Рассмотрим свойства функции где k ≠ 0 (рис. 15).

1. Функция нулей не имеет.

Это следует из того, что дробь при любом значении аргумента не обращается в нуль (по условию k ≠ 0).

2. Функция при k > 0 принимает отрицательные значения в промежутке (-∞; 0) и положительные значения в промежутке (0; +∞).

Действительно, если k > 0, то дробь при х < 0 и при х > 0.

Функция при k < 0 принимает отрицательные значения в промежутке (0; +∞) и положительные значения в промежутке (-∞; 0).

Обоснование аналогично изложенному для случая k > 0.

3. При k > 0 функция является убывающей в каждом из промежутков (-∞; 0) и (0; +∞), а при k < 0 — возрастающей в каждом из этих промежутков (см. рис. 15, а, б).

Доказательство этого свойства проводится аналогично тому, как это было сделано для линейной функции.

Заметим, что, хотя функция , где k ≠ 0, убывает (или возрастает) в каждом из промежутков (-∞; 0) и (0; +∞), она не является убывающей (возрастающей) функцией на всей области определения.

<<< К началу Окончание >>>