Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел. Покажем, как можно решить эту задачу, не выполняя непосредственного сложения чисел.

Обозначим искомую сумму через S и запишем ее дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором — в порядке убывания:

S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1.

Каждая пара чисел, расположенных друг под другом, дает в сумме 101. Всего таких пар 100. Поэтому, сложив равенства почленно, получим

Итак,

1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = 5050.

С рассмотренной задачей связана история, которую рассказывают об известном немецком математике Карле Гауссе. Когда учитель предложил ученикам третьего класса сложить все числа от 1 до 100 включительно, рассчитывая при этом надолго занять их работой, маленький Карл моментально подошел с готовым ответом. Возможно, он заметил, что каждая из сумм 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, ... равна 101, а таких сумм 50.

С помощью рассуждений, аналогичных тем, которые мы провели при вычислении суммы первых ста натуральных чисел, можно найти сумму первых n членов любой арифметической прогрессии.

Обозначим сумму первых n членов арифметической прогрессии (а_n) через S_n и запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае в порядке убывания:

S_n = а₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_{n - 1} + a_n, (1)
S_n = a_n + a_{n - 1} + a_{n - 2} + a_{n - 3} + ... + a₂ + a₁. (2)

Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна а₁ + а_n. Действительно,

а₂ + а_{n - 1} = (a₁ + d) + (a_n - d) = а₁ + а_n,
а₃ + а_{n - 2} = (a₂ + d) + (а_{n - 1} - d) = а₂ + а_{n - 1} = а₁ + а_n,
а₄ + а_{n - 3} = (а₃ + d) + (а_{n - 2} - d) = а₃ + а_{n - 2} = а₁ + а_n

Число таких пар равно n. Поэтому, сложив почленно равенства (1) и (2), получим

2S_n = (а₁ + а_n)n.

Разделив обе части последнего равенства на 2, получим формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Т. е.

Приведем примеры на вычисление суммы членов арифметической прогрессии.

Пример 1. Найдем сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии 4; 5,5; ... .

В данной арифметической прогрессии а₁ = 4, d = 1,5.

Тридцатый член прогрессии найдем по формуле n-го члена:

а₃₀ = 4 + 1,5 • 29 = 47,5.

Теперь вычислим сумму первых тридцати членов, воспользовавшись формулой (I):

Если для решения рассмотренной задачи воспользоваться формулой (II), то вычисления будут выглядеть так:

КАРЛ ГАУСС

КАРЛ ГАУСС (1777—1855) — немецкий математик, астроном, геодезист, физик. Выдающиеся математические способности проявил в раннем детстве. Его многочисленные исследования в области алгебры, теории чисел, геометрии и математического анализа оказали значительное влияние на развитие теоретической и прикладной математики, астрономии, геодезии, физики.

Продолжение >>>