Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии (продолжение)

Пример 2. Найдем сумму 1 + х + х² + ... + х^{n - 1}, где х ≠ 1, слагаемые которой являются последовательными членами геометрической прогрессии 1; х; х²; ... .

Первый член прогрессии равен 1, а знаменатель равен х. Так как х^{n - 1} является членом этой прогрессии с номером n, то задача состоит в нахождении суммы первых n ее членов. Воспользуемся формулой (I):

Таким образом, если х ≠ 1, то

Пример 3. Найдем сумму первых шести членов геометрической прогрессии (b_n), если известно, что b₃ = 12 и b₅ = 48.

Зная b₃ и b₅, можно найти знаменатель прогрессии q. Так как b₅ = b₃q², то

Значит,

g = 2 или q = —2.

Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.

Если q = -2, то и

Если q = 2, то b₁ = 3 и

Упражнения

648. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, у которой:

649. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии:

650. Вычислите сумму первых девяти членов геометрической прогрессии, если:

а) c₁ = -4, g = 3; б) с₁ = 1, q= -2.

651. Докажите, что последовательность (b_n) является геометрической прогрессией, и найдите сумму первых n ее членов, если:

а) b_n = 0,2 • 5ⁿ; б) b_n = 3 • 2^{n - 1}; в) b_n = 3^{1 + n}.

652. Найдите сумму первых n членов геометрической прогрессии:

653. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии (b_n), если: а) b₇ = 72,9, q= 1,5;

654. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (х_n), если: б) х₄ = 121,5, q= -3.

655. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 2, а пятый равен 162, если известно, что ее члены с нечетными номерами положительны, а с четными отрицательны.

656. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии (b_n), в которой b₂ = 6 и b₄ = 54, если известно, что все ее члены положительны.

657. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первых двух членов равна 8, а сумма третьего и четвертого членов равна 72. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, надо сложить, чтобы получить в сумме 242?

<<< К началу Ответы >>>