Метод математической индукции

Пусть дана последовательность (а_n), в которой

а₁ = 4, а_n+1 = а_n + 2n+ 3.

Попытаемся задать ее формулой n-го члена.

Вычислим первые несколько членов последовательности:

а₁ = 4, а₂ = 4 + 2 • 1 + 3 = 9, а₃ = 9 + 2 • 2 + 3 = 16.

Значит, последовательность (а_n) начинается так: 4, 9, 16, ... .

Естественно предположить, что эту последовательность можно задать формулой а_n = (n + 1)². Формула верна для n = 1, 2, 3. Однако, как долго ни продолжали бы мы вычисления, они не дают оснований утверждать, что эта формула верна при любом натуральном n. Поэтому воспользуемся специальным методом рассуждений. Предположим, что формула верна при n = k, т. е. а_k = (k + 1)², и докажем, что она также верна при n = k + 1, т. е. докажем, что a_{n + 1} = (k + 2)².

По условию а_к+1 = а_k + 2k + 3. Заменив а_k на (k + 1)², получим a_{k+ 1} = (k + 1)² + 2k + 3 = k² + 2k + 1 + 2k + 3 = k² + 4k + 4 = (k + 2)².

Значит,

a_{k + 1} = (k + 2)²,

т. е. если формула верна для n = k, то она верна и для n = k + 1.

Мы убедились, что формула верна для n = 1. Следовательно, она верна и для n = 1 + 1, т. е. для n = 2. Из того, что формула верна для n = 2, следует, что она верна и для n = 2 + 1, т. е. для n = 3. (Заметим, что в справедливости формулы для n = 2 и n = 3 нас убедили и непосредственные расчеты.) Из справедливости формулы для n = 3 вытекает ее справедливость для n = 3 + 1, т. е. для n = 4. Из того, что формула верна для n = 4, следует, что она верна для n = 5 и т. д.

Ясно, что, строя такую цепочку рассуждений, мы дойдем до любого натурального числа. Значит, формула а_n = (n + 1)² верна при любом натуральном n, т. е. последовательность (а_n) можно задать этой формулой.

Примененный метод доказательства называется методом математической индукции. Он основан на следующем положении, известном под названием принцип математической индукции:

утверждение о том, что некоторый факт имеет место при любом натуральном л, верно, если выполняются два условия:

а) утверждение верно при n = 1;
б) из справедливости утверждения для n = k следует его справедливость для n = k + 1.

Доказательство некоторого утверждения методом математической индукции состоит из двух частей. Сначала проверяют его справедливость при n = 1. Затем, предположив, что утверждение верно при n = k, доказывают, что оно верно и при n = k + 1.

Рассмотрим примеры применения метода математической индукции.

Пример 1. При решении некоторых задач из геометрии и механики Архимед (287—212 гг. до н. э.) вывел формулу