Квадратный трехчлен и его корни

Каждое из выражений х⁵ - 2х⁴ + Зх³ - 7х + 2, 2у⁴ - у³ + 5у² - 3у + 18, 7z⁶ - 6z⁴ + z² - 2z + 3 является многочленом с одной переменной.

Значение переменной, при котором многочлен обращается в нуль, называют корнем многочлена.

Найдем, например, корни многочлена х3 - х. Для этого решим уравнение х³ - х = 0. Разложив левую часть уравнения на множители, получим

х(х - 1)(х + 1) = 0,

отсюда х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = -1.

Таким образом, числа 0, 1,-1 — корни многочлена х³ - х.

Многочлен второй степени с одной переменной называют квадратным трехчленом.

Определение. Квадратным трехчленом называется многочлен вида ах² + bх + с, где х — переменная, а, b и с — некоторые числа, причем а ≠ 0.

Коэффициент а называют старшим коэффициентом, ас — свободным членом квадратного трехчлена.

Примерами квадратных трехчленов являются многочлены 3х² - 2х - 5, х² + 7х - 8. В первом из них а = 3, b = -2, с = -5, во втором а = 1, 6 = 7, с = -8. К квадратным трехчленам относятся также и такие многочлены второй степени, у которых один из коэффициентов b либо с или даже оба равны нулю. Так, многочлен 7х² - х считают квадратным трехчленом. У него а = 7, b = -1, с = 0.

Для того чтобы найти корни квадратного трехчлена ах² + bх + с, надо решить квадратное уравнение ах² + bх + с = 0.

Пример 1. Найдем корни квадратного трехчлена Зх² - 2х - 5.

Решим уравнение

Зх² - 2х - 5 = 0.

Имеем

Значит, квадратный трехчлен 3х² - 2х - 5 имеет два корня: и -1.

Так как квадратный трехчлен ах² + bх + с имеет те же корни, что и квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, то он может, как и квадратное уравнение, иметь два корня, один корень или не иметь корней. Это зависит от значения дискриминанта квадратного уравнения D = b² - 4ac, который называют также дискриминантом квадратного трехчлена. Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два корня; если D = 0, то квадратный трехчлен имеет один корень; если D < О, то квадратный трехчлен не имеет корней.

При решении задач иногда бывает удобно представить квадратный трехчлен ах² + bх + с в виде а(х - m)² + n, где m и n — некоторые числа. Такое преобразование называется выделением квадрата двучлена из квадратного трехчлена. Покажем на примере, как выполняется это преобразование.

Пример 2. Выделим из трехчлена 3х² - 3бх + 140 квадрат двучлена.

Вынесем за скобки множитель 3:

Преобразуем выражение в скобках. Для этого представим 12х в виде произведения 2 • 6 • х, а затем прибавим и вычтем 6².

Получим

Значит, 3х² - 36х + 140 = 3(х - б)² + 32.

Рассмотрим задачу, при решении которой применяется выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

Продолжение >>>